Olá, pessoal. Tudo bem com vocês?
Estou tendo muita dificuldade para resolver essa questão, por isso peço ajuda a vocês.
Agradeço desde já.
| Anexos: |
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| Prove que para qualquer "a" pertencente a R, não existe limite de f(x)... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=10909 |
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| Autor: | Quito [ 17 abr 2016, 12:35 ] | ||
| Título da Pergunta: | Prove que para qualquer "a" pertencente a R, não existe limite de f(x)... | ||
Olá, pessoal. Tudo bem com vocês? Estou tendo muita dificuldade para resolver essa questão, por isso peço ajuda a vocês. Agradeço desde já.
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| Autor: | Fraol [ 17 abr 2016, 22:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que para qualquer "a" pertencente a R, não existe limite de f(x)... |
Olá, Penso que você pode pensar em termos de sequências de racionais e irracionais na vizinhança de qualquer \(a \in R\). Será necessário formalizar os argumentos que passo coloquialmente. Para qualquer \(a\) racional podemos usar uma sequência de números irracionais, \((x_n)\), tendendo a \(a\). Neste caso \(f(x) = 1\) e \(f(a) = 0\) e o limite não existe. Analogamente, para qualquer \(a\) irracional podemos usar uma sequência de números racionais, \((x_n)\), tendendo a \(a\). Neste caso \(f(x) = 0\) e \(f(a) = 1\) e o limite não existe. |
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| Autor: | Quito [ 18 abr 2016, 23:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que para qualquer "a" pertencente a R, não existe limite de f(x)... |
Boa noite, Fraol. Obrigado pela resposta. Não querendo abusar da sua boa vontade, mas gostaria de saber como poderia fazer essa demonstração de uma maneira formal? Quito |
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| Autor: | Fraol [ 19 abr 2016, 02:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que para qualquer "a" pertencente a R, não existe limite de f(x)... |
Boa noite, Formalizar ... hummm... vamos tentar assim (vou preencher algumas lacunas ocultas na minha sugestão): Primeiramente, \(\forall a \in Q\), \(a\) é um ponto limite, ou de acumulação, de \(R - Q\). Pela densidade de \(R\), existe uma sequência sequência de números irracionais, \((x_n)_{n \in N}\), com \(x_n \in R-Q\), de forma que \(\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = a\). Pela função dada \(f(x_n) = 1\) e \(f(a) = 0\) e o limite não existe (1) . Analogamente, \(\forall a \in R-Q\), \(a\) é um ponto limite, ou de acumulação, de \(Q\). Pela densidade de \(R\), existe uma sequência sequência de números racionais, \((y_n)_{n \in N}\), com \(y_n \in Q\), de forma que \(\lim_{n \rightarrow \infty}y_n = a\). Pela função dada \(f(y_n) = 0\) e \(f(a) = 1\) e o limite não existe (2). Portanto, conforme (1) e (2) não existe \(\lim_{x \rightarrow a}f(x), \forall a \in R\). |
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| Autor: | santhiago [ 22 abr 2016, 00:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que para qualquer "a" pertencente a R, não existe limite de f(x)... |
Boa noite a todos . Abordagem sequencial é boa e simplifica diversos problemas . Outra forma ... A ideia é a seguinte : Podemos separar 1 e 0 por intervalos abertos disjuntos , a saber \(I = (- \frac{1}{2} , \frac{1}{2} ) [\tex] e [tex] J = ( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} )\) . Agora dado qualquer x , observe que em virtude da densidade dos racionais e irracionais , qualquer vizinhança (aberta) de x contém valores que são mapeados em 0 e 1 pela aplicação f .Logo , a imagem direta de qq vizinhança(aberta) de x por f nunca ficara inteiramente contida em I ou J . Isso já prova que a função é descontínua em toda reta . Observe que pondo \(\epsilon = 1/2\) .Dado x e qualquer \(\delta > 0\) , o argumento prévio significa que podemos encontrar \(x_{\delta}\) t.q. \(0 < | x_{\delta} - x| < \delta\) , mas \(|f(x_{\delta}) - f(x) | \geq \epsilon\) . |
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