Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Prezados amigos do Fórum de Matemática.
Venho aqui pra pedir mais uma vez a ajuda de vocês numa questão que está me "tirando o sono".

A questão é a seguinte:

Prove o seguinte teorema:
Sejam \(f,g:X\rightarrow \mathbb{R},a\in X,f,g\) contínuas em \(a\in X\). Então:

\(\frac{f}{g}:X\rightarrow \mathbb{R},g(x)\neq 0\) definida por \(\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\forall x\in X\) é contínua em \(a\in X\).

Obrigado.

Gonsalves

Darei um caminho para a questão.

\(Prove \ \ que \ \ \frac{1}{g(x)} eh \ \ continua \ \ em \ \ a. \ \ E \ \ depois \ \ conclua \ \ utilizando \ \ o \ \ seguinte \ \ fato \ \: "se \ \ f \ \ e \ \ h \ \ sao \ \ continuas \ \ em \ \ a, \ \ entao \ \ (f.h)(x) =f(x)*h(x) é contínua \ \ em \ \ a ." Basta \ \ considerar \ \ h=\frac{1}{g(x)}.\)


Caso ainda não tenha feito a demonstração dessa regra para o produto é mais simples, basta usar o critério sequencial de continuidade ou mesmo epsilon e delta.

Mr_Hoolands

Tentei fazer conforme sugerido por você, porém não estou conseguindo avançar nas demonstrações. Está muito difícil pra mim. Estou iniciando o estudo desse conteúdo na faculdade. Poderia fazer essa demonstração pra mim, por favor? Assim poderei resolver com mais facilidade outros exercícios similares.

Agradeço muitíssimo.

Gonsalves

Olá, Gonsalves.

Também tentei resolver essa questão seguindo as orientações, porém também não consegui.
Achei bem complexa essa questão.

Tomara que algum colaborador do fórum possa ajudar.

TALES

Gente...

Tô "penando" pra resolver essa questão também. Tá difícil demais.

Help, por favor!

O mais fácil neste caso é usar a definição de limite segundo Heine.

\(\lim_{x \to a} h(x) = h(a)\) se e só se para toda a sucessão \(x_n \to a\) de tem \(h(x_n) \to h(a)\). No nosso caso apenas precisamos mostrar que, tomando uma qualquer sucessão \(x_n \to a\), se tem \(\lim \frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \frac{f(a)}{g(a)}\). Ora,

\(\lim\frac{f(x_n)}{g(x_n)} = \frac{\lim f(x_n)}{\lim g(x_n)} = \frac{f(\lim x_n)}{g(\lim x_n)} = \frac{f(a)}{g(a)}\).

obs: A continuidade de f,g implica que \(\lim f(x_n) = f(\lim x_n)\) e que \(\lim g(x_n) = g(\lim x_n)\).