Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Galera do fórum. Tudo bem?
Necessito de um "help" de vocês novamente...
Não consigo resolver a questão abaixo. Alguém pode me ajudar, por favor?

Sejam \(f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\). Se g é contínua em x=0, com g(0)=0 e \(\left | f(x)\leq \left | g(x) \right |\right |, \forall x\in \mathbb{R}\). Prove que f é contínua em x=0.

Gente...

Muito obrigado.

Galileu

Olá, Galileu.

Tentei fazer por aqui, mas também não consegui.
Bem difícil, viu?
Continuarei tentando.
Espero que alguém do fórum possa ajudar.

Boa sorte.

Caruso

Galileu.

Assim como o Caruso, também tentei fazer por aqui, mas tá bem trabalhoso e confuso.
Estou há alguns dias debruçado sobre essa questão, mas não consigo evoluir.
Espero, assim como disse o nosso amigo Caruso, que alguém do fórum possa nos ajudar nessa questão super difícil (na minha opinião).

NiGoRi

É só ir pela definição de continuidade.
Se \(|f(x)|\leq |g(x)|\) para qualquer \(x\in \mathbb{R}\) e \(g(0)=0\) então \(f(0)=0\) (pois \(|f(0)|\leq |g(x)|=0\)).
Se g é contínua em x=0 então \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(0)|<\varepsilon\) (por definição de continuidade). Como \(|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leq |g(x)|=|g(x)-g(0)|\) temos que \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(0)|<\varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(0)|<\varepsilon\) logo f é contínua no ponto x=0.