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| Sejam f,g:R->R. Se g é contínua em x=0, com g(0)=0...Prove que f é contínua em x=0. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=10911 |
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| Autor: | Galileu [ 17 abr 2016, 13:48 ] |
| Título da Pergunta: | Sejam f,g:R->R. Se g é contínua em x=0, com g(0)=0...Prove que f é contínua em x=0. |
Galera do fórum. Tudo bem? Necessito de um "help" de vocês novamente... Não consigo resolver a questão abaixo. Alguém pode me ajudar, por favor? Sejam \(f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\). Se g é contínua em x=0, com g(0)=0 e \(\left | f(x)\leq \left | g(x) \right |\right |, \forall x\in \mathbb{R}\). Prove que f é contínua em x=0. Gente... Muito obrigado.  Galileu
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| Autor: | Caruso [ 18 abr 2016, 23:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sejam f,g:R->R. Se g é contínua em x=0, com g(0)=0...Prove que f é contínua em x=0. |
Olá, Galileu. Tentei fazer por aqui, mas também não consegui. Bem difícil, viu? Continuarei tentando. Espero que alguém do fórum possa ajudar. Boa sorte. Caruso |
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| Autor: | NiGoRi [ 18 abr 2016, 23:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sejam f,g:R->R. Se g é contínua em x=0, com g(0)=0...Prove que f é contínua em x=0. |
Galileu. Assim como o Caruso, também tentei fazer por aqui, mas tá bem trabalhoso e confuso. Estou há alguns dias debruçado sobre essa questão, mas não consigo evoluir. Espero, assim como disse o nosso amigo Caruso, que alguém do fórum possa nos ajudar nessa questão super difícil (na minha opinião). NiGoRi 
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| Autor: | Rui Carpentier [ 19 abr 2016, 21:52 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sejam f,g:R->R. Se g é contínua em x=0, com g(0)=0...Prove que f é contínua em x=0. |
É só ir pela definição de continuidade. Se \(|f(x)|\leq |g(x)|\) para qualquer \(x\in \mathbb{R}\) e \(g(0)=0\) então \(f(0)=0\) (pois \(|f(0)|\leq |g(x)|=0\)). Se g é contínua em x=0 então \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(0)|<\varepsilon\) (por definição de continuidade). Como \(|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leq |g(x)|=|g(x)-g(0)|\) temos que \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-0|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(0)|<\varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(0)|<\varepsilon\) logo f é contínua no ponto x=0. |
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