provar Limite de funções do guidoruzzi

[Eu!]

Prove: limite de x tendendo a p de f(x)/ x-p é igual a zero se e somente se limite de x tendendo a p de f(x)/ |x-p| é igual a zero

[Sobolev]

Decorre das definições dos dois limites...

\(\lim_{x \to p} \dfrac{f(x)}{x-p} = 0 \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists \delta >0: |x-p|< \delta \Rightarrow |\dfrac{f(x)}{x-p} - 0| < \varepsilon\)

\(\lim_{x \to p} \dfrac{f(x)}{|x-p|} = 0 \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists \delta >0: |x-p|< \delta \Rightarrow |\dfrac{f(x)}{|x-p|} - 0| < \varepsilon\)

Como

\(|\dfrac{f(x)}{|x-p|} - 0| = |\dfrac{f(x)}{x-p} - 0| = \dfrac{|f(x)|}{|x-p|},\)

uma condição é verificada se e só se o mesmo acontecer com a outra. Em geral, pode dizer que

\(\lim_{x \to a} F(x) = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to a}| F(x)| = 0.\)