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MensagemEnviado: 05 jan 2012, 23:32 
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Boa noite,

Bom Ano 2012 para todos os utilizadores do fórum.
Podem dar-me uma ajudazinha a calcular este limite?

\(\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{1/x} -e}{x}\)

Obrigado
Abraço
NSilva


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 Título da Pergunta: Re: Calcular Limites
MensagemEnviado: 06 jan 2012, 19:45 
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Meu caro

visto que o limite em apreço dá \(\frac{0}{0}=Ind\) pode tentar utilizar a Regra de Cauchy, dividindo em cima e em baixo da fração

Lembre-se que

\((f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right)\)

ou seja

\(\frac{d}{dx}\left((1+x)^{1/x}\right)=(1+x)^{1/x}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)\)

Concluimos que, utilizando a regra de Cauchy:

\(\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}=e\times \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)\)

Basta assim calcular aquele limite

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João Pimentel Ferreira
 
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 Título da Pergunta: Re: Calcular Limites
MensagemEnviado: 06 jan 2012, 22:36 
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Continuando...

\(\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{x-ln(1+x)(1+x)}{x^2(1+x)}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{x}{1+x}-ln(1+x)}{x^2}\right)=\frac{0}{0}=Ind.\)

Aplicando novamente a Regra de Cauchy..

\(\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1(1+x)-x}{(1+x)^2}-\frac{1}{1+x} }{2x}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1-(1+x)}{(1+x)^2}}{2x}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{-1}{2(1+x)^2}\right)=-\frac{1}{2}\)

Assim o resultado do limite em causa é \(-\frac{e}{2}\)

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João Pimentel Ferreira
 
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