Calcular Lim,x->0,((1+x)^(1/x)-e)/x
05 jan 2012, 23:32
Boa noite,
Bom Ano 2012 para todos os utilizadores do fórum.
Podem dar-me uma ajudazinha a calcular este limite?
\(\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{1/x} -e}{x}\)
Obrigado
Abraço
NSilva
Bom Ano 2012 para todos os utilizadores do fórum.
Podem dar-me uma ajudazinha a calcular este limite?
\(\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{1/x} -e}{x}\)
Obrigado
Abraço
NSilva
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Re: Calcular Limites
06 jan 2012, 19:45
Meu caro
visto que o limite em apreço dá \(\frac{0}{0}=Ind\) pode tentar utilizar a Regra de Cauchy, dividindo em cima e em baixo da fração
Lembre-se que
\((f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right)\)
ou seja
\(\frac{d}{dx}\left((1+x)^{1/x}\right)=(1+x)^{1/x}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)\)
Concluimos que, utilizando a regra de Cauchy:
\(\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}=e\times \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)\)
Basta assim calcular aquele limite
visto que o limite em apreço dá \(\frac{0}{0}=Ind\) pode tentar utilizar a Regra de Cauchy, dividindo em cima e em baixo da fração
Lembre-se que
\((f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right)\)
ou seja
\(\frac{d}{dx}\left((1+x)^{1/x}\right)=(1+x)^{1/x}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)\)
Concluimos que, utilizando a regra de Cauchy:
\(\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}=e\times \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)\)
Basta assim calcular aquele limite
Re: Calcular Limites
06 jan 2012, 22:36
Continuando...
\(\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{x-ln(1+x)(1+x)}{x^2(1+x)}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{x}{1+x}-ln(1+x)}{x^2}\right)=\frac{0}{0}=Ind.\)
Aplicando novamente a Regra de Cauchy..
\(\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1(1+x)-x}{(1+x)^2}-\frac{1}{1+x} }{2x}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1-(1+x)}{(1+x)^2}}{2x}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{-1}{2(1+x)^2}\right)=-\frac{1}{2}\)
Assim o resultado do limite em causa é \(-\frac{e}{2}\)
\(\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{x-ln(1+x)(1+x)}{x^2(1+x)}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{x}{1+x}-ln(1+x)}{x^2}\right)=\frac{0}{0}=Ind.\)
Aplicando novamente a Regra de Cauchy..
\(\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1(1+x)-x}{(1+x)^2}-\frac{1}{1+x} }{2x}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1-(1+x)}{(1+x)^2}}{2x}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{-1}{2(1+x)^2}\right)=-\frac{1}{2}\)
Assim o resultado do limite em causa é \(-\frac{e}{2}\)