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Bom dia,

Alguém me pode ajudar a resolver este limite?
Obrigado.

\(\lim_{x \to 0} \frac{1+sen(x)-cos(x)}{tg(x)}\)

Abraço
NSilva

Boa tarde caríssimo

\(\lim_{x \to 0} \frac{1+sen(x)-cos(x)}{tg(x)}=\lim_{x \to 0} \frac{1+sen(x)-cos(x)}{\frac{sen(x)}{cos(x)}}=\)

\(=\lim_{x \to 0} \frac{cos(x)(1+sen(x)-cos(x))}{sen(x)}=\lim_{x \to 0}\left( \frac{cos(x)}{sen(x)}+cos(x)-\frac{cos^2(x)}{sen(x)\right)=\lim_{x \to 0} \left( \frac{cos(x)(1-cos(x))}{sen(x)}+cos(x)\right)=\)

\(=\lim_{x \to 0} \frac{cos(x)(1-cos(x))}{sen(x)}+1\)

Continuando a resolver apenas uma parcela:

\(\lim_{x \to 0} \frac{cos(x)(1-cos(x))}{sen(x)}=\frac{0}{0}=Ind.\)

Aplicando a regra de Cauchy (derivando em cima e em baixo)

\(\lim_{x \to 0} \frac{(cos(x)(1-cos(x)))'}{(sen(x))'}=\lim_{x \to 0} \frac{-sen(x)(1-cos(x))+sen(x)cos(x)}{cos(x)}=\frac{0}{1}=0\)

Assim concluimos que o resultado é:

\(\lim_{x \to 0} \frac{1+sen(x)-cos(x)}{tg(x)}=1\)

Volte sempre

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João Pimentel Ferreira
 
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