Boa noite,
Bom Ano 2012 para todos os utilizadores do fórum.
Podem dar-me uma ajudazinha a calcular este limite?
\(\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{1/x} -e}{x}\)
Obrigado
Abraço
NSilva
| Anexos: |
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| Calcular Lim,x->0,((1+x)^(1/x)-e)/x https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=121 |
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| Autor: | silvanuno11 [ 05 jan 2012, 23:32 ] | ||
| Título da Pergunta: | Calcular Lim,x->0,((1+x)^(1/x)-e)/x | ||
Boa noite, Bom Ano 2012 para todos os utilizadores do fórum. Podem dar-me uma ajudazinha a calcular este limite? \(\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{1/x} -e}{x}\) Obrigado Abraço NSilva
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| Autor: | João P. Ferreira [ 06 jan 2012, 19:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular Limites |
Meu caro visto que o limite em apreço dá \(\frac{0}{0}=Ind\) pode tentar utilizar a Regra de Cauchy, dividindo em cima e em baixo da fração Lembre-se que \((f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right)\) ou seja \(\frac{d}{dx}\left((1+x)^{1/x}\right)=(1+x)^{1/x}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)\) Concluimos que, utilizando a regra de Cauchy: \(\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}=e\times \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)\) Basta assim calcular aquele limite |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 06 jan 2012, 22:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcular Limites |
Continuando... \(\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}-\frac{ln(1+x)}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{x-ln(1+x)(1+x)}{x^2(1+x)}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{x}{1+x}-ln(1+x)}{x^2}\right)=\frac{0}{0}=Ind.\) Aplicando novamente a Regra de Cauchy.. \(\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1(1+x)-x}{(1+x)^2}-\frac{1}{1+x} }{2x}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{1-(1+x)}{(1+x)^2}}{2x}\right)=\lim_{x \to 0}\left(\frac{-1}{2(1+x)^2}\right)=-\frac{1}{2}\) Assim o resultado do limite em causa é \(-\frac{e}{2}\) |
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