Determinar se função é contínua ou não em um ponto.

[GustavoFerreira]

Verificar se f é contínua e justificar a resposta por meio da definição.

\(f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}, se (x,y)\neq(0,0) \\ 0, se (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.\)

[Rui Carpentier]

Sugestão: para quaisquer x,y reais, temos que \(x^2\le x^2+y^4\). Logo, temos que \(\frac{x^2y^2}{x^2+y^4}\le y^2 \le x^2+y^2\).

[Sobolev]

Basta notar que

\(\left| \frac{x^2 y^2}{x^2+y^4} - 0\right|\leq \frac{y^2(x^2+y^4)}{x^2+y^4} = y^2\)

Deste modo, como \(\lim_{(x,y)\to (0,0)} y^2 = 0\), vemos que \(\lim_{(c,u)\to(0,0)} \left| \frac{x^2 y^2}{x^2+y^4} - 0\right| = 0\), pelo que \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2 y^2}{x^2+y^4}=0\).

Finalmente, como \(\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=f(0,0)\), concluímos que f é contínua em (0,0).

[Só agora reparei que o Rui também respondeu...]