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Limite a +inf. de √(x+√x)-√(x-1) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=12939 |
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Autor: | marcosrdac [ 14 jul 2017, 01:17 ] |
Título da Pergunta: | Limite a +inf. de √(x+√x)-√(x-1) |
Olá! Estou tentanto calcular o limite a seguir há um bom tempo. Quando acho que consegui, meu desenvolvimento me leva a afirmar que ele vale 0. Apesar disso, eu estou certo de que numericamente ele resulta em 1/2. O gabarito da minha lista afirma o mesmo, também. \(\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x+sqrt{x}}-sqrt{x-1}}\) Eu tenho desenvolvido ela da seguinte forma: \(\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x+sqrt{x}}-sqrt{x-1}}\) \(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x (1+\frac{1}{sqrt{x}})}-sqrt{x (1-\frac{1}{x})}\) \(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}-sqrt{x}sqrt{1-\frac{1}{x}}\) \(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x} (\sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}-sqrt{1-\frac{1}{x}})\) \(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x} (\sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}-sqrt{(1-\frac{1}{sqrt{x}})(1+\frac{1}{sqrt{x}}})\) \(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x} (\sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}-sqrt{1-\frac{1}{sqrt{x}}}sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}})\) \(=\lim_{x\rightarrow \infty} {sqrt{x} (sqrt{1+\frac{1}{sqrt{x}}}(1-sqrt{1-\frac{1}{sqrt{x}}}}))\) \(=0\) Será que alguém consegue dar uma luz sobre como conduzir o desenvolvimento deste limite para que ele resulte corretamente? Grato desde já! |
Autor: | Baltuilhe [ 14 jul 2017, 20:09 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite a +inf. de √(x+√x)-√(x-1) |
Boa noite! Podemos utilizar a técnica seguinte: \((a+b).(a-b)=a^2-b^2\) Veja que se multiplicarmos um binômio por outro com o sinal do meio trocado, encontramos uma diferença entre quadrados... então: \(\lim_{x\to\infty}{\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}}\\ \lim_{x\to\infty}{\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}\right)\cdot\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}}\\ \lim_{x\to\infty}{\frac{x+\sqrt{x}-(x-1)}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}}\\ \lim_{x\to\infty}{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}}\\ \lim_{x\to\infty}{\frac{\sqrt{x}\cdot\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x\cdot\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}+\sqrt{x\cdot\left(1-\frac{1}{x}\right)}}}\\ \lim_{x\to\infty}{\frac{\cancel{\sqrt{x}}\cdot\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\cancel{\sqrt{x}}\cdot\left(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \right )}}\\ \lim_{x\to\infty}{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}}\\ \frac{1+\cancel{\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\cancel{\frac{1}{\sqrt{x}}}}+\sqrt{1-\cancel{\frac{1}{x}}}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\\\) |
Autor: | marcosrdac [ 29 ago 2017, 20:44 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite a +inf. de √(x+√x)-√(x-1) |
Obrigado! XD |
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