Calcular Limite de Funcao com Raiz no Numerador

[joaovictorotto]

Como calcular:

lim (√(x+2) + √2) / x
x→ 0

[Baltuilhe]

Boa noite!

Limite inicial:
\(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{x}\)

Multiplicando e dividindo pelo conjugado:
\(\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{x}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}\right)\)

Efetuando as multiplicações:
\(\lim_{x\to 0}\left[\dfrac{\left(\sqrt{x+2}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}{x\cdot\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{2}\right)}\right]\)

Resolvendo:
\(\lim_{x\to 0}\dfrac{x+2-2}{x\cdot\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{2}\right)}\)

Agora temos:
\(\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{x\cdot\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{2}\right)}\)

Simplificando x por x:
\(\lim_{x\to 0}\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}\cdot\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{2}\right)}\)

Sobra:
\(\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}\)

Calculando o limite à direita:
\(\lim_{x\to 0+}\dfrac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}=+\infty\)

Calculando o limite à esquerda:
\(\lim_{x\to 0-}\dfrac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}=-\infty\)

Como os limites não são iguais:
\(\cancel{\exists}\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}\)

Espero ter ajudado!