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 Título da Pergunta: (UF-PA) Calcule o seguinte limite.
MensagemEnviado: 24 mar 2018, 20:28 
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Calcule o seguinte limite.

OFF-TOPIC: Não estou conseguindo fazer o editor de equações funcionar aqui, só dá pagina em branco... estou usando o Mozilla Firefox atualizado.


Anexos:
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MensagemEnviado: 24 mar 2018, 21:05 
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Veja que há uma indeterminação - as divisões por 0 (mas até aí qual é a novidade?)

Observe também que 1 é raíz de \(x-1\) e de \(x^2+2x-3\), além do que 3 também é raiz desta última expressão.

Então podemos reescrever o limite assim:

\(lim_{x \rightarrow 1}\left( \frac{1}{x-1} + \frac{x-5}{(x-1)(x+3)} \right) \Leftrightarrow\)

\(lim_{x \rightarrow 1}\left( \frac{x+3 + x - 5}{(x-1)(x+3)} \right) \Leftrightarrow\)

\(lim_{x \rightarrow 1}\left( \frac{2x - 2}{(x-1)(x+3)} \right) \Leftrightarrow\)

\(lim_{x \rightarrow 1}\left( \frac{2(x - 1)}{(x-1)(x+3)} \right) \Leftrightarrow\)

\(lim_{x \rightarrow 1}\left( \frac{2}{(x+3)} \right) \Leftrightarrow\), para \(x\) tendendo a 1 o limite vale \(\frac{1}{2}\)

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Fraol
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MensagemEnviado: 25 mar 2018, 11:57 
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Fraol, não entendi porque 1 é raíz de x-1. Em x^2+2x-3 a soma das raízes são (-b/a= -2/1= -2) e o produto (c/a= (3x)(-1)= -3), logo os números que satisfazem a propriedade soma/produto são (1)x(-3) e (1)+(-3), ou talvez o certo é: soma (-b/a= -2/-1= 2) e o produto (c/a= (-3)(1)=-3). Minha outra duvida é, qual propriedade utilizou para reescrever x^2+2x-3 na forma (x-1)(x+3)? (obs.: acredito que tenha haver com as raízes geradas dessa expressão.)


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MensagemEnviado: 25 mar 2018, 12:19 
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Bom dia,

Tem um erro de digitação meu ali na primeira resposta:

Fraol Escreveu:
além do que 3 também é raiz desta última expressão.

Faltou o sinal \(-\). O certo é que \(-3\) é raiz. Aliás, foi esse o valor que considerei nas contas.

Vamos à suas indagações.

Rodrigues1964 Escreveu:
não entendi porque 1 é raíz de x-1

Se fazemos \(x=1\) a expressão vale 0 (logo 1 é raiz).

Rodrigues1964 Escreveu:
Em x^2+2x-3 a soma das raízes são (-b/a= -2/1= -2) e o produto (c/a= (3x)(-1)= -3)

Certo, soma -2 e produto -3.

Rodrigues1964 Escreveu:
Minha outra duvida é, qual propriedade utilizou para reescrever x^2+2x-3 na forma (x-1)(x+3)?

Podemos fatorar o trinômio na forma \(a(x-x_1)(x-x_2)\) onde \(x_1, x_2\) são as raízes.
Daí sai que \(x^2+2x-3=1 \cdot (x - 1) \cdot (x - (-3)) = (x-1)(x+3)\).
Ou seja a propriedade usada foi a fatoração do trinômio.

Rodrigues1964 Escreveu:
(obs.: acredito que tenha haver com as raízes geradas dessa expressão.)

Certo - tem tudo a ver com elas.

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Fraol
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MensagemEnviado: 25 mar 2018, 13:06 
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Muito obrigado pelos esclarecimentos, amigo. Tenha um bom domingo. ;)


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MensagemEnviado: 28 mar 2018, 23:53 
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Lembrando que além da redução de polinomios, também pode ser usada também a formula de baskara para determinar os valores de x, então x² + 2x -3, Usando Baskara. Δ = b² - 4ac, resulta Δ = 4 - 4.1(-3) = 16 e x = - b + - raiz quadrada de 16 / 2 . x¹ = 1 e x² = - 3, onde (x -1)(x + 3), usando o mdc. E eliminando a indeterminação do limite (x - 1), podendo agora determinar o limite.


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MensagemEnviado: 29 mar 2018, 18:43 
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Silviosouza, boa observação.


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