Pode dizer que \(f\) é contínua no ponto \(x\) se \(\lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x)\). Ora neste caso

\(\lim_{h \to 0} f(x+h) = \lim_{h \to 0}(f(x)+f(h)) = f(x) + \lim_{h \to 0} f(h) = f(x)+f(0)\)

Agora tem que ver que f(0)=0...

Alguém me pode dizer como é que faz-se esta demonstração?
Acho que como o PierreQuadrado disse não se consegue provar o pretendido...

Na verdade, se tomar um pouco de atenção ao que foi escrito verá que o PierreQuadrado demonstrou o pretendido (só faltou, e ele próprio referiu, provar que f(0)=0 para uma função aditiva). Note que, nas escolhas de variáveis que ele usou, o que ele provou foi que f é contínua em x (não em h como você leu).
Vou refazer a prova do PierreQuadrado com outras escolhas de variáveis, pode ser que o clarifique.
Sabemos que \(f(a+b)=f(a)+f(b)\) para todo o par a,b de números reais e f é contínua em 0. Queremos provar que f é contínua num qualquer ponto real p. Ou seja, queremos mostrar que se \(x\to p\) então \(f(x)\to f(p)\). Mas \(f(x)=f(p+x-p)=f(p)+f(x-p)\), logo temos que \(f(x)\to f(p)\) se e só se \(f(x-p)\to 0\) quando \(x\to p \Leftrightarrow x-p\to 0\). Mas, sendo f contínua em 0, \(f(x-p)\to f(0)\) quando \(x-p\to 0\). Portanto para finalizar a demonstração só é preciso mostrar que f(0)=0. E isso resulta da aditividade da função: \(f(a)=f(a+0)=f(a)+f(0)\Rightarrow f(0)=0\).