Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boas Pessoal,

Alguém que me possa ajudar a calcular estes limites?

a) \(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(e^x-1)(cos(x)-1)}{log(1+x^3)}\)

e

b)\(\lim_{x \rightarrow 0+} x^s^e^n^(^2^x^)\)

Cumprimentos,

Optikool

a) Relativamente ao primeiro dos limites podes simplesmente começar por aplicar a regra de Cauchy:

\(\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-1)(cos x -1}{log(1+x^3)} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x (\cos x - 1) -\sin x (e^x-1)}{\frac{3x^2}{1+x^3}} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x (\cos x - 1) -\sin x (e^x-1)}{3x^2}\)

Aplicando mais duas vezes a regra de Cauchy (repara que depois de duas derivações o denominador será constante), chegarás ao resultado \(-\frac{1}{2}\)

b)
\(\lim_{x\to 0^+} x^{\sin (2x)}= \lim_{x \to 0^+} e^{\ln (x^{\sin (2x))})} = \lim_{x \to 0^+} e^{\sin (2x) \ln x}\)

Agora, como a exponencial é uma função contínua, a última expressão é igual a

\(e^{\left(\lim_{x \to 0^+} \sin (2x) \ln x\right)}=e^{\left(\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin (2x)}{ 1/\ln x}\right)}=\cdots = e^0\)
As reticências na expressão anterior correspondem a aplicar a regra de Cauchy.