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| [Limites] prove que ... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=1820 |
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| Autor: | santhiago [ 17 fev 2013, 21:38 ] |
| Título da Pergunta: | [Limites] prove que ... |
Prove que existe \(\delta > 0\) tal que \(1-\delta < x < 1 + \delta \Rightarrow 2 - 1/3 < x^2 + x < 2 + 1/ 3\) Solução : Como \(\lim_{x\to 1} x^2 + x = 1\),fixado \(\epsilon = 1/3\) , Tomando-se \(\delta = \epsilon\) , \(1-\delta < x < 1 + \delta \Rightarrow 2 - 1/3 < x^2 + x < 2 + 1/ 3\) Estar certo ? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 18 fev 2013, 23:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Limites] prove que ... |
Não, não está de todo certo pois não é garantido que se possa tomar \(\delta=\epsilon\) (de facto se fizermos \(x=1+\frac{1}{4}<1+\frac{1}{3}\) temos que \(x^2+x=2+\frac{13}{16}>2+\frac{1}{3}\)). O melhor a fazer é tentar majorar \(|x^2+x-2|\) em função de \(|x-1|\): \(|x^2+x-2|=|(x-1)(x+2)|=|x-1|\cdot|x-1+3|\leq |x-1|\cdot(|x-1|+3)\) Se fizermos \(\delta \to 0^+\) então \(\delta (\delta +3)\to 0\), logo existe \(\delta >0\) suficientemente pequeno tal que \(\delta (\delta +3)<\frac{1}{3}\). Concluimos então que existe \(\delta >0\) tal que \(|x-1|<\delta \Rightarrow |x^2+x-2|<\delta (\delta +3)<\frac{1}{3}\). |
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| Autor: | santhiago [ 21 fev 2013, 22:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: [Limites] prove que ... |
Muito obrigado pela atenção . |
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