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| Provar limite de sequência https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=2209 |
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| Autor: | Walter R [ 08 abr 2013, 14:05 ] |
| Título da Pergunta: | Provar limite de sequência |
Preciso provar que 1/2 é limite da sequencia \(x_{n}= \frac{n^{2}+n}{2n^{2}+1}\) Ou seja, preciso provar que para qualquer \(\varepsilon >0, \exists n_{0}\in \mathbb{N}\) tal que \(\left | x_{n}-1/2 \right |<\varepsilon\). \(\left | \frac{n^{2}+n}{2n^{2}+1} -1/2\right |= \left | \frac{2n-1}{4n^{2}+2} \right |<\varepsilon\). Fazendo \(\frac{2n_{0} -1}{4n_{0}^{2}+2}<\varepsilon\), chegamos a \(4n_{0}^{2}\varepsilon - 2n_{0}+2\varepsilon +1>0\) O problema é que eu não posso garantir que para qualquer valor de \(\varepsilon\) esta desigualdade seja verdade, ou seja, existirão alguns valores de \(\varepsilon\) para os quais não haverá \(n_{0}\). Isto me conduz a uma contradição em relação à hipótese que eu pretendo provar. Por outro lado, sei que o limite é 1/2. Logo, estou errando em algum ponto do raciocínio. |
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| Autor: | Fraol [ 08 abr 2013, 21:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar limite de sequência |
Olá Walter R , Creio que você pode continuar observando que: \(\frac{2n-1}{4n^2+2} < \frac{2n-1}{4n^2-1} = \frac{1}{2n+1} < \epsilon\). Então para \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\) então qualquer \(n \gt n_0\) ... |
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| Autor: | Fraol [ 09 abr 2013, 02:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar limite de sequência |
E ainda podemos simplificar fazendo \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon}\), pois se \(\epsilon < \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\), então \(\epsilon < \frac{1}{2 \epsilon}\). |
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| Autor: | Walter R [ 09 abr 2013, 04:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar limite de sequência |
obrigado pela ajuda! |
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| Autor: | Fraol [ 09 abr 2013, 10:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar limite de sequência |
Ok. Eu cometi um erro (de digitação) no trecho: fraol Escreveu: E ainda podemos simplificar fazendo \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon}\), pois se \(\epsilon < \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\), então \(\epsilon < \frac{1}{2 \epsilon}\). Então segue a resposta completa e corrigida: ... observando que: (\(n, \epsilon > 0\)) \(\frac{2n-1}{4n^2+2} < \frac{2n-1}{4n^2-1} = \frac{1}{2n+1} < \epsilon\). Assim: \(\frac{1}{2n+1} < \epsilon \Rightarrow \frac{1}{\epsilon} < 2n + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} - 1 < 2n \Leftrightarrow \frac{1}{ 2 \epsilon} - \frac{1}{2} < n\) Então podemos simplificar fazendo \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon}\), pois se \(n < \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\), então \(n < \frac{1}{2 \epsilon}\). Disso segue que \(... n > n_0 ...\) (conclusão da prova do limite). |
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| Autor: | Fraol [ 09 abr 2013, 13:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar limite de sequência |
Cada vez que leio encontro um erro, agora foi a troca dos sinais "<" e ">" depois do ", pois se". Como está difícil parar de errar (hehehe...) acho que vou parar de ler ... Então segue a resposta completa e corrigida (espero!): ... observando que: (\(n, \epsilon > 0\)) \(\frac{2n-1}{4n^2+2} < \frac{2n-1}{4n^2-1} = \frac{1}{2n+1} < \epsilon\). Assim: \(\frac{1}{2n+1} < \epsilon \Rightarrow \frac{1}{\epsilon} < 2n + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} - 1 < 2n \Leftrightarrow \frac{1}{ 2 \epsilon} - \frac{1}{2} < n\) Então podemos simplificar fazendo \(n_0 = \frac{1}{2 \epsilon}\), pois se \(n > \frac{1}{2 \epsilon} - \frac{1}{2}\), então \(n > \frac{1}{2 \epsilon}\). Disso segue que \(... \epsilon > 0, ..., n > n_0 ...\) (conclusão da prova do limite). |
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