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| Continuidade de uma função definida por troços https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=2424 |
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| Autor: | zelly_lohla [ 04 mai 2013, 17:12 ] |
| Título da Pergunta: | Continuidade de uma função definida por troços |
Problema: Considere a função f, de domínio IR, definida por \(f(x)\left \{ \frac{x^{2}+2x}{x^{3}+x^{2}}\) se x < 0 \(f(0)= 2\) se x = 0 \(f(x)= \left \{\frac{3x^{2}-x\ln (x+1)}{x^{3}}\) se x > 0 Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em x = 0. --> A solução diz que é contínua em x= 0 mas sempre que eu resolvo os limites, mostra sempre que é descontínua. 
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| Autor: | João P. Ferreira [ 04 mai 2013, 20:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Continuidade de uma função |
Seja bem-vindo ao fórum  Uma função é contínua num ponto se o limite à esquerda é igual ao limite à direita e é igual ao valor do ponto. Ou seja, \(f(x)\) é contínua no ponto \(a\) sse \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\) ou seja, no seu caso, o ponto a "investigar" é o ponto \(x=0\) \(\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)\) para ser contínua é necessário verificar as seguintes igualdades: \(\lim_{x\to 0}\frac{x^2+2x}{x^3+x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{3x^2-x\ln(x+1)}{x^3}=2\) consegue avançar??? partilhe dúvidas/resultados.... saudações pitagóricas
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| Autor: | zelly_lohla [ 04 mai 2013, 21:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Continuidade de uma função |
Eu tentei avançar. O problema é que me dá descontínua
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| Autor: | João P. Ferreira [ 04 mai 2013, 23:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Continuidade de uma função definida por troços |
\(\lim_{x\to 0}\frac{x^2+2x}{x^3+x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x(x+2)}{x^2(x+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{x+2}{x(x+1)}=\frac{2}{0.1}=\infty\) logo tem razão, é descontínua (ou então passou mal o enunciado) |
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| Autor: | zelly_lohla [ 05 mai 2013, 01:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Continuidade de uma função definida por troços |
já descobri como me dá 2 a do \(x\rightarrow 0^{^{-}}\) mas não consigo a do \(ln\) porque nunca sei como os simplificar e então dá-me \(\infty\) no final :/ E o enunciado estava correcto. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 08 mai 2013, 01:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Continuidade de uma função definida por troços |
A do \(\ln\) pode dividir por \(x\) repare que: \(\frac{3x^{2}-x\ln(x+1)}{x^{3}}=\frac{3x-\ln(x+1)}{x^{2}}=\frac{1}{x}\frac{3x-\ln(1+x)}{x}=\frac{1}{x}\left(3-\frac{ln(x+1)}{x} \right)\) considerando os limites notáveis dá \(1/0.(3-1)=\infty\) |
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