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Suponha que \(\lim_{x->p}f(x)=L\). prove que existem r>0 e M>0 tais que, para todo x E Df,

\(\left | x-p \right |< r= >\left | f(x) \right |\leq M.\)

É questão de manipular as definições:

Por definição \(\lim_{x\to p}f(x)=L\) é equivalente a \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\).

Ora tomando um qualquer \(\varepsilon\) (pode ser \(\varepsilon=1\) por exemplo) e chamando r ao \(\delta\) temos que:

\(\lim_{x\to p}f(x)=L \Rightarrow (\exists_{r >0} |x-p|<r \Rightarrow |f(x)-L|<1)\).

Agora note-se que \(|f(x)-L|<1\Leftrightarrow L-1<f(x)<L+1 \Rightarrow |f(x)|<\max\{|L-1|, |L+1|\}\).
Assim basta tomar \(M=\max\{|L-1|, |L+1|\}\) para obter o resultado pretendido.

Obrigado Rui por sua magna contribuição!