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| Limites! https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=300 |
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| Autor: | Leonardo [ 13 abr 2012, 12:27 ] |
| Título da Pergunta: | Limites! |
Suponha que \(\lim_{x->p}f(x)=L\). prove que existem r>0 e M>0 tais que, para todo x E Df, \(\left | x-p \right |< r= >\left | f(x) \right |\leq M.\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 13 abr 2012, 13:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limites! |
É questão de manipular as definições: Por definição \(\lim_{x\to p}f(x)=L\) é equivalente a \(\forall_{\varepsilon >0}\exists_{\delta >0} |x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\). Ora tomando um qualquer \(\varepsilon\) (pode ser \(\varepsilon=1\) por exemplo) e chamando r ao \(\delta\) temos que: \(\lim_{x\to p}f(x)=L \Rightarrow (\exists_{r >0} |x-p|<r \Rightarrow |f(x)-L|<1)\). Agora note-se que \(|f(x)-L|<1\Leftrightarrow L-1<f(x)<L+1 \Rightarrow |f(x)|<\max\{|L-1|, |L+1|\}\). Assim basta tomar \(M=\max\{|L-1|, |L+1|\}\) para obter o resultado pretendido. |
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| Autor: | Leonardo [ 13 abr 2012, 14:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limites! |
Obrigado Rui por sua magna contribuição! |
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