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| lim n!/1000^n https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=304 |
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| Autor: | pedrohpinho [ 14 abr 2012, 19:56 ] |
| Título da Pergunta: | lim n!/1000^n |
Alguém por gentileza poderia me demonstrar o lim n!/1000^n, com n -> infinito? no meu livro está dizendo que esse limite é infinito, mas não consigo visualizar o pq. Não sei a derivada de n! para usar l'hôpital, nem sei se existe essa derivada! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 15 abr 2012, 13:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: lim n!/1000^n HELP, HELP!!!! |
Meu caro Qualquer limite desta forma, dá infinito \(\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{a^n}=\infty , a \in \R\) Simplesmente porque o fatorial cresce muito mais depressa que qualquer potência Cumprimentos |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 16 abr 2012, 22:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: lim n!/1000^n |
Boas mais uma vez Repare que se \(u_n=\frac{n!}{a^n}\) Podemos tentar achar \(\lim \frac{u_{n+1}}{u_n}\) \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{(n+1)!}{a^{n+1}}}{\frac{n!}{a^n}}=\frac{a^n (n+1)!}{a^{n+1} n!}=\frac{a^n (n+1) n!}{a. a^n n!}=\frac{n+1}{a}\) Então \(\forall_{a>0}\exists_{n \in \mathbb{N}} : \frac{n+1}{a}>1\) Então existirá um \(n\) a partir do qual a sucessão é crescente... Como sabemos também que \(\lim \frac{u_{n+1}}{u_n} = +\infty\) então a função tende para infinito Cumprimentos |
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