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| Regra de Cauchy https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=355 |
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| Autor: | emsbp [ 07 mai 2012, 20:14 ] |
| Título da Pergunta: | Regra de Cauchy |
Boa tarde. Peço ajuda na aplicação da regra de Cauchy no cálculo do seguinte limite: \(\lim_{x->\frac{\pi }{2}}(cos x)^{\frac{\pi }{2}-x}\) .Como dá uma indeterminação \(0^{0}\), apliquei logaritmos, donde cheguei novamente a uma indeterminação 0x\(\propto\) Apliquei novamente a regra de Cauchy, mas fiquei na mesma com uma indeterminação. Obrigado. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 07 mai 2012, 21:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Regra de Cauchy |
Façamos então: \((cos x)^{\pi/2-x}=e^{ln((cos x)^{\pi/2-x})}=e^{(\pi/2-x).ln(cos x)}\) Precisa então de resolver o limite \(\lim_{x \to \pi/2}((\pi/2-x).ln(cos x))=\lim_{x \to \pi/2}\frac{ln(cos x)}{\frac{1}{(\pi/2-x)}}=\frac{\infty}{\infty}\) Agora já podes aplicar a regra de Cauchy As indeterminações \(0\times \infty\) resolvem-se fazendo \(\frac{1}{\infty}\times \infty\) Se precisares de ajuda para resolver diz... saudações |
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| Autor: | emsbp [ 08 mai 2012, 09:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Regra de Cauchy |
Bom dia. Até aí eu já tinha resolvido. A questão é se tenho que derivar novamente, ou existe algum limite notável que possa aplicar. Obrigado! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 08 mai 2012, 12:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Regra de Cauchy |
Sim, tens de continuar a usar a regra de Cauchy \(\frac{(ln(cos x))'}{(\frac{1}{\pi/2-x})'}=\frac{\frac{-sen x}{cos x}}{\frac{1}{(\pi/2-x)^2}}=\frac{-(\pi/2-x)^2 sen x}{cos x}\) que em \(x=\pi/2\) dá uma indeterminação de \(\frac{0}{0}\) Aplicando novamente a R.C. \(\frac{(-(\pi/2-x)^2 sen x)'}{(cos x)'}=\frac{-2(-1)(\pi/2-x) sen x-cos x (\pi/2-x)^2}{1}=2(\pi/2-x) sen x-cos x (\pi/2-x)^2\) que em \(\pi/2\) dá zero Assim o limite é \(e^0={1}\) Saudações |
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| Autor: | emsbp [ 08 mai 2012, 16:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Regra de Cauchy |
Muito obrigado! |
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