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| Sequências infinitas / subsequências https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=3827 |
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| Autor: | Anne Cristina Vieira [ 06 Oct 2013, 00:38 ] |
| Título da Pergunta: | Sequências infinitas / subsequências |
Boa noite, preciso muito da ajuda de vocês em uma questão. Suponha que (Xn) converge para 1/3 e que (Yn) converge para 2/3. Prove que (Xn+Yn) converge para 1. Estou com muitas dificuldades nesta. abraços e obrigada Anne |
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| Autor: | Fraol [ 06 Oct 2013, 01:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sequências infinitas / subsequências |
Boa noite, Vamos lá, simplificadamente você poderia encaminhar assim: \((x_n) \rightarrow \frac{1}{3} , \exists n>n_1 , \left | x_n - \frac{1}{3} \right | < \frac{\epsilon}{2}, \epsilon > 0.\) \((y_n) \rightarrow \frac{2}{3} , \exists n>n_2 , \left | y_n - \frac{2}{3} \right | < \frac{\epsilon}{2}, \epsilon > 0.\) Agora faça \(n_0\) igual ao maior valor entre \(n_1\) e \(n_2\). Então para \(n > n_0\), \(\left | x_n - \frac{1}{3} + y_n - \frac{2}{3} \right | < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}, \epsilon > 0.\). Ou seja: \(\left | x_n + y_n - 1 \right | < \epsilon, \epsilon > 0.\) e isto comprova que o limite da soma é realmente 1, ou seja a soma dos limites. |
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