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Limite sobre Duas Variáveis (Indeterminação)
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=4055		 Página 1 de 1
Autor:  raimundojr [ 18 Oct 2013, 01:05 ]
Título da Pergunta:  Limite sobre Duas Variáveis (Indeterminação)
(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 18 - Pág.: 810)
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
\(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {xy^4}{x^2+y^8}\)

Resposta para o cálculo do limite: 0 (zero).

Coloquei a definição apenas para tentar clarear as ideias. Mas, se alguém conseguir responder por outro método, irá ajudar. Por exemplo, Teorema do Confronto, mudança de variável etc.

Definição de Limite de uma Função de Duas Variáveis (pelo menos): http://forumdematematica.org/download/file.php?id=1057 ou http://img713.imageshack.us/img713/8348/n1pj.jpg
(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Pág.: 804)

Como faço para provar esse limite?

Anexos:
01.jpg
01.jpg [ 62.64 KiB | Visualizado 2141 vezes ]
Autor:  Man Utd [ 18 Oct 2013, 01:50 ]
Título da Pergunta:  Re: Limite sobre Duas Variáveis (Indeterminação)
\(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {xy^4}{x^2+y^8}\)


vejamos uma mudança por coordenadas polares:

\(\\\\ x=r*cos\Theta \;\; , \;\;y=r*sen\Theta \;\; , \;\; (x,y)\rightarrow (0,0) \;\; , \;\; r\rightarrow 0^{+}\)


\(\\\\\\ \lim_{r\rightarrow 0^{+}} \;\;\frac{r*cos\Theta *r^{4}sen^{4}\Theta }{r^{2}*cos^{2}\Theta+r^{8}*sen^{8}\Theta } \\\\\\ \lim_{r\rightarrow 0^{+}} \;\; \frac{r^{3}cos\Theta *sen^{4}\Theta }{cos^{2}\Theta+r^{6}*sen^{8}\Theta }\)


\(\lim_{ r \rightarrow 0^{+}} \;\; (r^3*cos\theta*sen^{4}\theta)*\frac{1}{cos^2\theta+r^6*sen^{8}\theta}\)



Aqui o intuito é usar o teorema do função limitada, mas perceba que \(\frac{1}{cos^2\theta+r^6*sen^{8}\theta\) , não é limitada pois se \(\theta=\frac{\pi}{2}\) a função iria para \(\infty\), o que carateriza que a função não tem limite,pois para o limite existir não pode depender de \(\theta\)
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