calcule:
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| limite x tendendo a "a" https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=4095 |
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| Autor: | Ramon1992 [ 24 Oct 2013, 05:32 ] | ||
| Título da Pergunta: | limite x tendendo a "a" | ||
calcule:
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| Autor: | Man Utd [ 24 Oct 2013, 13:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: limite x tendendo a "a" |
olá  dado o limite: \(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[n]x-\sqrt[n]a}{\sqrt[m]x-\sqrt[m]a}\) divida o numerador e denominador por: \(\\\\\\ x-a\) e separe em dois limites usando a propriedade do limite, ficando com: \(\LARGE \\\\\\ \frac{\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[n]x-\sqrt[n]a}{x-a}}{\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[m]x-\sqrt[m]a}{x-a}}\) lembre-se agora da propriedade : \(\\\\\\ a^{n}-b^{n}=(a-b)*(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})\) : no limite do numerador: \(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{(\sqrt[n]x-\sqrt[n]a)}{(\sqrt[n]x-\sqrt[n]a)*(\sqrt[n]x^{n-1}+\sqrt[n]x^{n-2}*\sqrt[n]a+...+\sqrt[n]x*\sqrt[n]a^{n-2}+\sqrt[n]a^{n-1})}\) \(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{\sqrt[n]x^{n-1}+\sqrt[n]x^{n-2}*\sqrt[n]a+...+\sqrt[n]x*\sqrt[n]a^{n-2}+\sqrt[n]a^{n-1}} \\\\\\ \frac{1}{\sqrt[n]a^{n-1}+\sqrt[n]a^{n-2}*\sqrt[n]a+...+\sqrt[n]a*\sqrt[n]a^{n-2}+\sqrt[n]a^{n-1}} \\\\\\ \frac{1}{n*\sqrt[n]a^{n-1}}\) agora o limite do denominador: \(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{(\sqrt[m]x-\sqrt[m]a)}{(\sqrt[m]x-\sqrt[m]a)*(\sqrt[m]x^{m-1}+\sqrt[m]x^{m-2}*\sqrt[m]a+...+\sqrt[m]x*\sqrt[m]a^{m-2}+\sqrt[m]a^{m-1})}\) \(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{\sqrt[m]x^{m-1}+\sqrt[m]x^{m-2}*\sqrt[m]a+...+\sqrt[m]x*\sqrt[m]a^{m-2}+\sqrt[m]a^{m-1}}\) \(\LARGE \\\\\\ \frac{1}{\sqrt[m]a^{m-1}+\sqrt[m]a^{m-2}*\sqrt[m]a+...+\sqrt[m]a*\sqrt[m]a^{m-2}+\sqrt[m]a^{m-1}} \\\\\\ \frac{1}{m*\sqrt[m]a^{m-1}}\) voltando agora ,para fazermos algumas simplificações: \(\LARGE \\\\\\ \frac{\frac{1}{n*\sqrt[n]a^{n-1}}}{\frac{1}{m*\sqrt[m]a^{m-1}}}\) \(\LARGE \\\\\\ \frac{m\sqrt[m]a^{m-1}}{n*\sqrt[n]a^{n-1}} \\\\\\ \frac{ma^{\frac{m-1}{m}}}{n*a^{\frac{n-1}{n}}} \\\\\\ \frac{m \sqrt[mn]{a}^{m-n}}{n}\) confira com o gabrito. att.
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| Autor: | Sobolev [ 24 Oct 2013, 17:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: limite x tendendo a "a" |
Man Utd Escreveu: olá dado o limite: \(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[n]x-\sqrt[n]a}{\sqrt[m]x-\sqrt[m]a}\) divida o numerador e denominador por: \(\\\\\\ x-a\) e separe em dois limites usando a propriedade do limite, ficando com: \(\LARGE \\\\\\ \frac{\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[n]x-\sqrt[n]a}{x-a}}{\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[m]x-\sqrt[m]a}{x-a}}\) Chegando aqui também podia simplesmente identificar os limites envolvidos como sendo derivadas... Assim, designando \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) e \(g(x)=\sqrt[m]{x}\), o limite em causa é justamente \(\frac{f'(a)}{g'(a)}\), que corresponde ao resultado obtido. |
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| Autor: | Ramon1992 [ 25 Oct 2013, 14:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: limite x tendendo a "a" |
qual resolução é a certa? |
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| Autor: | Man Utd [ 25 Oct 2013, 14:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: limite x tendendo a "a" |
as duas estão corretas
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| Autor: | Ramon1992 [ 25 Oct 2013, 15:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: limite x tendendo a "a" |
mas a resolução que não foi desenvolvida por você, não tem mais coisas? |
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| Autor: | Man Utd [ 25 Oct 2013, 16:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: limite x tendendo a "a" |
Ramon1992 Escreveu: mas a resolução que não foi desenvolvida por você, não tem mais coisas? vc,conhece derivadas? se sim bastar derivar \(f(x)=\sqrt[n]x\) e \(g(x)=\sqrt[m]x\) , e colocar o resultado obtido assim: \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) , e depois substituir x por "a". note que isso foi explicado em mensagens anteriores. att e cumprimentos
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