Estou com dificuldades em provar... ajudem-me prova amanha..
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| Mostre que o LIMITE É = 0 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=4242 |
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| Autor: | Romeiro bastos [ 07 nov 2013, 01:27 ] | ||
| Título da Pergunta: | Mostre que o LIMITE É = 0 | ||
Estou com dificuldades em provar... ajudem-me prova amanha..
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| Autor: | Man Utd [ 07 nov 2013, 01:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre que o LIMITE É = 0 [resolvida] |
\(\text{dado o limite :}\) \(\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1}{\frac{\pi}{2}-x}-tgx\) \(\text{\\\\ u=\frac{\pi}{2}-x , x \rightarrow \frac{\pi}{2} , u \rightarrow 0 , x=\frac{\pi}{2}-u , entao:\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{1}{u}-tg(\frac{\pi}{2}-u)\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{1}{u}-\frac{sen(\frac{\pi}{2}-u)}{cos(\frac{\pi}{2}-u)}\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{1}{u}-\frac{cosu}{sen u}\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{senu-u*cosu}{u*sen u}\) \(\text{Divida numerador e Denominador por "u"}\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{\frac{senu}{u}-cosu}{sen u}\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{1-cosu}{sen u}\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{(1-cosu)*(1+cosu)}{sen u*(1+cosu)}\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{sen^{2}u}{sen u*(1+cosu)}\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{sen^{2}u}{senu}*\frac{1}{1+cosu}\) \(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}senu*\frac{1}{1+cosu}=0\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 08 nov 2013, 20:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre que o LIMITE É = 0 |
Cuidado ao fazer \(\lim_{u\to 0}\frac{\frac{\sin u}{u}-\cos u}{\sin u}=\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{\sin u}\) Em geral não se pode subtituir uma parte da expressão pelo seu limite num cálculo de limite, vejam por exemplo \(\lim_{u\to 0} \frac{\frac{\sin u}{u}-1}{u^2}=\lim_{u\to 0} \frac{\sin u -u}{u^3}=\lim_{u\to 0} \frac{\cos u -1}{3u^2}=\lim_{u\to 0} \frac{-\sin u }{6u}=-\frac{1}{6}\) enquanto \(\lim_{u\to 0} \frac{1-1}{u^2}=0\). No caso em questão não tem influência pois \(\frac{\sin u}{u}-\cos u=O(u^2)\) (de ordem quadratica) enquanto \(\sin u =O(u)\) (de ordem linear) logo \(\frac{\frac{\sin u}{u}-\cos u}{\sin u}=O(u)\) (o limite é de facto zero). |
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| Autor: | Man Utd [ 09 nov 2013, 00:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre que o LIMITE É = 0 |
Rui Carpentier Escreveu: Cuidado ao fazer \(\lim_{u\to 0}\frac{\frac{\sin u}{u}-\cos u}{\sin u}=\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{\sin u}\) Em geral não se pode subtituir uma parte da expressão pelo seu limite num cálculo de limite, vejam por exemplo \(\lim_{u\to 0} \frac{\frac{\sin u}{u}-1}{u^2}=\lim_{u\to 0} \frac{\sin u -u}{u^3}=\lim_{u\to 0} \frac{\cos u -1}{3u^2}=\lim_{u\to 0} \frac{-\sin u }{6u}=-\frac{1}{6}\) enquanto \(\lim_{u\to 0} \frac{1-1}{u^2}=0\). No caso em questão não tem influência pois \(\frac{\sin u}{u}-\cos u=O(u^2)\) (de ordem quadratica) enquanto \(\sin u =O(u)\) (de ordem linear) logo \(\frac{\frac{\sin u}{u}-\cos u}{\sin u}=O(u)\) (o limite é de facto zero). Olá  Obrigado pelo aviso. abraços
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