Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Estou com dificuldades em provar... ajudem-me prova amanha..

\(\text{dado o limite :}\) \(\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1}{\frac{\pi}{2}-x}-tgx\)


\(\text{\\\\ u=\frac{\pi}{2}-x , x \rightarrow \frac{\pi}{2} , u \rightarrow 0 , x=\frac{\pi}{2}-u , entao:\)


\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{1}{u}-tg(\frac{\pi}{2}-u)\)


\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{1}{u}-\frac{sen(\frac{\pi}{2}-u)}{cos(\frac{\pi}{2}-u)}\)


\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{1}{u}-\frac{cosu}{sen u}\)


\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{senu-u*cosu}{u*sen u}\)


\(\text{Divida numerador e Denominador por "u"}\)


\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{\frac{senu}{u}-cosu}{sen u}\)


\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{1-cosu}{sen u}\)


\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{(1-cosu)*(1+cosu)}{sen u*(1+cosu)}\)


\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{sen^{2}u}{sen u*(1+cosu)}\)

\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}\frac{sen^{2}u}{senu}*\frac{1}{1+cosu}\)

\(\\\\ \lim_{u \rightarrow 0}senu*\frac{1}{1+cosu}=0\)

Cuidado ao fazer \(\lim_{u\to 0}\frac{\frac{\sin u}{u}-\cos u}{\sin u}=\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{\sin u}\)

Em geral não se pode subtituir uma parte da expressão pelo seu limite num cálculo de limite, vejam por exemplo \(\lim_{u\to 0} \frac{\frac{\sin u}{u}-1}{u^2}=\lim_{u\to 0} \frac{\sin u -u}{u^3}=\lim_{u\to 0} \frac{\cos u -1}{3u^2}=\lim_{u\to 0} \frac{-\sin u }{6u}=-\frac{1}{6}\) enquanto \(\lim_{u\to 0} \frac{1-1}{u^2}=0\).

No caso em questão não tem influência pois \(\frac{\sin u}{u}-\cos u=O(u^2)\) (de ordem quadratica) enquanto \(\sin u =O(u)\) (de ordem linear) logo \(\frac{\frac{\sin u}{u}-\cos u}{\sin u}=O(u)\) (o limite é de facto zero).

Olá

Obrigado pelo aviso.

abraços