Leandro_mb Escreveu:
Olá,
Gostaria de saber como calcular
\(\lim (a^x-1)/x\) Com x --> 0 e a > 0.
usando o segundo limite fundamental na forma
\(\lim \frac{Ln(1+x)}{x}=1\) , x-->0
O resultado é lna
Mas sem a condição a>0, o resultado deu 1
fazendo \(t=a^x-1\)
\(t+1=a^x\)
\(ln(t+1)=x\)
\(x\rightarrow0, t = a^x-1\rightarrow 0\)
não entendi a diferença com a>0
Olá
\(a>0\) , é a condição de existência do logaritmo,pois não podemos ter logaritmando negativo.
\(\\\\\\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}\)
fazendo a susbtituição : \(\\\\\\ u=a^{x}-1\) temos que : \(\\\\\\ x\rightarrow 0,u\rightarrow 0\) , isolando "x" obtemos:
\(\\\\\\ u=a^{x}-1 \\\\\\ a^{x}=u+1 \\\\\\ ln(a^{x})=ln(u+1) \\\\\\ x*ln (a)=ln(u+1) \\\\\\ x=\frac{ln(u+1)}{ln(a)}\)
Então o limite fica:
\(\\\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{u}{\frac{ln(u+1)}{ln(a)}}\)
\(\\\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{u*lna}{ln(u+1)}\)
agora divida numerador e denominador por "u":
\(\\\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{lna}{\frac{ln(u+1)}{u}\)
\(\\\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{lna}{\frac{1}{u}*ln(u+1)}\)
\(\\\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{lna}{ln(u+1)^{\frac{1}{u}}\)
\(\\\\\\ \frac{\lim_{u\rightarrow 0} lna}{\lim_{u\rightarrow 0} ln(u+1)^{\frac{1}{u}}\)
usando a continuidade "ln" no denominador,perceba que aqui iremos utilizar o outro limite fundamental:
\(\\\\\\ \frac{\lim_{u\rightarrow 0} lna}{ln(\lim_{u\rightarrow 0} (u+1)^{\frac{1}{u}})}\)
\(\\\\\\ \frac{ lna}{ln(e)}\)
\(\\\\\\ ln(a)\)
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