Fórum de Matemática
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Prove que a sucessão xn tal que x1=2 e xn+1= Raiz quadrada de 3 + xn^2 sobre 2 é convergente e calcule o seu limite.
Sugestão: prove que para todo n pertencente a N se tem xn<=3

Cara Helena

A fórmula está ilegível. Será isto?

\(x_1=2\) e \(x_{n+1}=\frac{\sqrt{3 + x_{n^2}}}{2}\)

Não sou adivinho, use o editor de equações aí em cima, é muito fácil

cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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ou será

\(x_1 = 2, \qquad x_{n+1}=\sqrt{3+\frac{x_n^2}{2}}\) ?

Se for esta a fórmula pode observar que:

1) Como \(x_{n+1} = \sqrt{3+\frac{x_n^2}{2}} \leq \sqrt{\frac{x_n^2}{2}} \leq \frac{x_n}{\sqrt{2}} \leq x_n\) a sucessão é estritamente decrescente.

2) Como todos os termos são positivos, pode ver que a sucessão é limitada, concretamente \((x_n) \subseteq ]0,2]\)

Ora, uma sucessão monótona e limitada é convergente. Quanto ao valor do limite, ele será a solução da equação \(x = \sqrt{3+\frac{x_n^2}{2}}\), isto é, \(\sqrt{6}\). Já agora, o valor deste limite é independente do valor escolhido para \(x_1\).

Se a fórmula não for esta, suponho que consiga fazer as adaptações necessárias!

A fórmula é essa. A partir de agora vou usar o editor de equações.
Muito obrigada.