Olá EAFO
Quanto à sucessão \(x_{n}\), se não for limitada, então por ser sucessão de termos positivos ela será um infinitamente grande.
Podemos ver que não é limitada por definição, tomando L > 0 arbitrário e notando que se \(|\frac{x_{n+1}}{x_{n}}|=\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=x>1\) , então \(x_{n+1}>{x_{n}\cdot x >{x_{n-1}\cdot x^{2} >...>{x_{1}\cdot x^{n}\)
e logo, como x>1, e se se tiver
\(x_{1}\cdot x^{n}>L\Leftrightarrow x^{n}>\frac{L}{x_{1}}\Leftrightarrow n>Log_{x}(\frac{L}{x_{1}})\)
existe sempre um n.º natural nesta condição.
Pelo que a sucessão não pode ser limitada, e portanto \(x_{n}\rightarrow +\infty\)
c.q.d.
Quanto ao limite, pode decompor-se o quociente de forma
n^n/n! = (n/n) (n/(n-1)) (n/(n-2)) (n/(n-3)) ... (n/1) = 1 (1+1/(n-1)) (1+2/(n-2)) (1+3/(n-3)) ... (n) =
cujo limite é, 1 x 1 x 1 x 1 x ... x \(+\infty\) = \(+\infty\)
c.q.d.
Espero ter ajudado
Bom estudo
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