Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Amigos, boa tarde. Não sei como tenho a facilidade de encontrar bicho de pé na matemática, e ficar querendo dar nó em pingo d'água, mas de fato o universo da matemática é grande demais para minha singela cabecinha e emocionante demais para eu não tentar todos os recursos possíveis para entender o ainda desconhecido. Venho então até vocês com uma dúvida talvez banal para muitos, mas que não consigo resolver...

A função exponencial f(x)=a^x está definida para a pertencente aos reais positivos e a diferente de 1.
Isso acontece pois:
a=1 resulta em função constante
a=0 gera indeterminação quando x=0 (0^0)
a<0 não está definida em R no caso de x ser fracionário de denominador par, resultando em raiz de índice par para radicando negativo. EX.: se a=-3 e x=1/4, temos
f(x)=a^x
f(1/4)=(-3)^(1/4)
f(1/4)= ∜(-3) =>∉R

Ok. Tudo bem. Até aí entendi perfeitamente.
O caso é que eu gostaria de desenhar o gráfico de f(x)=(-1)^x (uma função simplesinha, para depois tentar outras mais cabeludas) que bate justamente nessas restrições de números reais. Ela resultaria num gráfico que adentra o universo posterior, o dos números complexos.
O Geogebra (até sua versão 4.9.232.0 - Java 1.7.0, se não me engano é a mesma 3D, versão 5... diz o site de download...) não consegue plotar a função f(x)=(-1)^x, pois não tem definição para complexos. Apenas está capacitado para "ajustar" pontos complexos no plano cartesiano real, mantendo a informação algébrica de complexos na janela álgebra, conforme explica seu manual.
Mas o super Wolfram Alpha consegue. Ele dá dois gráficos para f(x)=(-1)^x, um para valores reais e outro para valores imaginários.
Creio que o problema imaginário surge nas brechas entre os valores reais positivos de x, ocasionando saltos entre valores definidos em R e não definidos em R, como por exemplo:
f(x)=(-1)^x
f(1)=(-1)^1=-1
...
f(-1)^(1/4)=∜(-1)
...
f(2)=(-1)^2=1

Se é isso, como desenhar com papel e lápis esse gráfico?
Como devo fazer para conseguir desenhá-lo? (mesmo que, claro, a resposta mais óbvia é que eu deva ir pegando valores amostrais para indicar um esboço do gráfico...)

Resumindo, gostaria de
1) fazer o que o Wolfram Alpha fez, indicando 2 gráficos distintos (e complementares???) para reais e complexos (que cálculos são esses???)
2)plotar esse gráfico no mundo dos reais (vixe, seria feito de pontos em vez de curvas, pois haveriam intervalos de assíntotas????? Eu sei que a função quebra a condição de existência em R e por isso ela é dita "não definida em R", não sendo "função real" e não aparece no Geogebra, mas de fato valores inteiros de x (negativos e positivos) caberiam nos cálculos da função, como fiz acima, salvo tenha errado nos cálculos...). Mas porque seria uma função com pontos se o Wolfram conseguiu traçar uma curva real da função, além da curva imaginária????

Meu cérebro está exalando fumaça... preciso de um sprinkler..., urgente... :o)
Obrigada.

O Geogebra desistiu....
Mas o Wolfram Alpha conseguiu.

Deixo abaixo as duas imagens para referências dos amigos super-humanos do fórum :o)

Para perceber os gráficos desenhados pelo Wolfram alpha tem que conhecer a definição de algumas funções de variável complexa. Por exemplo,

\(e^z = e^x\cos y + i e^x \sin y\)

Esta função coincide com a exponencial real sempre que y é zero e partilha a maioria das suas propriedades... Mas não todas, já que por exemplo esta função pode tomar valores negativos.

Pode-se provar que esta função é injectiva em qualquer faixa horizontal (no plano complexo) de altura \(2 \pi\), pelo que nessa faixa se pode definir a sua funlção inversa a que chamamos logaritmo. Se escolhermos a faixa que vai desde y=0 até y=2 pi, definimos o logaritmo como sendo

\(Log z = log|z| + i arg (z), \quad arg(z) \in [0, 2 \pi[\)

Esta função logaritmo pode ser calculada para qualquer complexo não nulo, o que em particular significa que pode ser calculado para qualquer número negativo. Note que o logaritmo que surge do lado direito é o logaritmo usual em R.

Finalmente definimos

\(a^x = e^{x Log a}\)

No caso que apresenta,

\((-1)^x = e^{x Log (-1)} = e^{i \pi x} = cos(\pi x) + i \sin(\pi x)\)

O Wolfram está justamente a mostrar os gráficos da parte real, que é \(\cos (\pi x)\), e da parte imaginária, que é \(\sin (\pi x)\). Repare que quando a parte imaginária é zero, o que acontece para todos os inteiros, a parte real é justamente +1 ou -1.

Note bem que isto só faz sentido no plano complexo... não permite definir a função como função real, nem faz qualquer sentido imaginar o seu gráfico...
Sei que isto é bastante informação, e pressupõe conhecimento de uma quantidade de aspectos da extensão ao plano complexo das funções reais, mas é a explicação mais rápida que encontro!