Olá
a condição para ser continua é: \(\lim_{x \rightarrow p} f(x)=f(p)\)
então devemos resolver :
\(\lim_{x \rightarrow 0} e^{x^2*cos(\frac{1}{x})-2}\)
então:
\(\lim_{x \rightarrow 0} e^{x^2*cos(\frac{1}{x})-2}=L\) , em que \(L\) é o valor do limite.
aplique logaritmo natural aos dois lados:
\(\lim_{x \rightarrow 0} ln(e)^{x^2*cos(\frac{1}{x})-2}=ln(L)\)
\(\lim_{x \rightarrow 0} (x^2*cos(\frac{1}{x})-2)*ln(e)=ln(L)\)
\(\lim_{x \rightarrow 0} x^2*cos(\frac{1}{x})-2=ln(L)\)
\(\lim_{x \rightarrow 0} x^2*cos(\frac{1}{x})-\lim_{x \rightarrow 0} 2=ln(L)\)
no limite \(\lim_{x \rightarrow 0} x^2*cos(\frac{1}{x})\),vamos utilizar o teorema do confronto perceba que a função cosseno é limitada em \(\left [ -1,1 \right ]\) :
\(-1 \leq cos(\frac{1}{x}) \leq 1\) , multiplicadando por \(x^2\) a desigualdade,não vamos alterar já que é sempre positivo:
\(-x^2 \leq x^2*cos (\frac{1}{x})\leq x^2\)
como o limite de \(-x^2\) e \(x^2\) quando \(x \rightarrow 0\) é zero, então temos que pelo teorema do confronto que: \(\lim_{x \rightarrow 0} x^2*cos(\frac{1}{x})=0\) .
então ficaremos com:
\(-2=ln(L)\)
\(L=e^{-2}\)
\(L=\frac{1}{e^2}\).
Com isso temos que para a função ser contínua devemos ter \(a=\frac{1}{e^2}\)
att.qualquer coisa é só falar.