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| Limite da função e prove que é convergente x1=1 xn+1=Sqrt(4xn) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=4712 |
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| Autor: | hsmofm [ 04 jan 2014, 12:05 ] |
| Título da Pergunta: | Limite da função e prove que é convergente x1=1 xn+1=Sqrt(4xn) |
Bom Dia, Estou com algumas duvidas neste exercício, gostaria que alguém confirmasse se o meu raciocínio está correcto: Olhando para esta sucessão vejo que se trata de uma sucessão monótona crescente, convergente e limitada: x1=1 x2= Sqrt(4*1) x3= Sqrt(4*sqrt(4*1)) Aqui podemos verificar a monotonia crescente da sucessão... quanto ao limite: Lim xn = lim xn+1 lim sqrt(4xn) = Infinito....... Será que estou correcto?? obrigado |
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| Autor: | Sobolev [ 06 jan 2014, 10:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite da função e prove que é convergente x1=1 xn+1=Sqrt(4xn) |
De facto a sucessão é crescente e limitada, portanto convergente. Quanto ao limite, pode pensar do seguinte modo: \(x_1 = \mathrm{1} x_2 = 2 \sqrt{x_1} = \mathrm{2} = 2^1 x_3 = 2\sqrt{x_2} = \mathrm{2} \sqrt{2} = 2^{1+\frac 12} x_4 = 2 \sqrt{x_3} = 2 \sqrt{2 \sqrt{2}} = 2^{1+\frac 12 +\frac 14} ...\) Ora, o expoente do 2 corresponde à soma dos termos uma progressão geométrica... \(\lim x_n = 2^{\sum_{k=0}^{+\infty} (1/2)^k} = 2^2 =4.\) Outra forma de obter o valor do limite é através do teorema do ponto fixo, que identifica o limite daquela sucessão com uma solução da equação \(x = \sqrt{4 x}\). |
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| Autor: | hsmofm [ 06 jan 2014, 14:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite da função e prove que é convergente x1=1 xn+1=Sqrt(4xn) |
Peço desculpa mas não consegui perceber como chegou a esse limite... |
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| Autor: | Sobolev [ 06 jan 2014, 21:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite da função e prove que é convergente x1=1 xn+1=Sqrt(4xn) |
Observando os sucessivos termos x_n, vemos que cada termo pode sempre ser escrito como uma potência de 2, em que o expoente é uma soma de diversas fracções, cada uma delas uma potência de 1/2. Deste modo, o limite da sucessão será 2 elevado à soma \(1 + \frac 12 + \left(\frac 12\right)^2 + \left(\frac 12\right)^3+\left(\frac 12\right)^4 + \cdots\) Esta expressão é a soma dos termos que uma progressão geométrica (designa-se série geométrica), que pode ser calculada dando como resultado \(\frac{1}{1-1/2} = 2.\) |
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| Autor: | hsmofm [ 10 jan 2014, 22:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite da função e prove que é convergente x1=1 xn+1=Sqrt(4xn) |
Ainda continuo com algumas duvidas em exercícios deste género... Qual o procedimento que devo demonstrar para calcular o Limite de uma Sucessão. X=1 Xn+1= SQRT(4xn) Obrigado |
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