Fórum de Matemática
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Boa tarde a todos do fórum!
Estou tentando resolver um problema de limites. Consegui elaborar uma solução, mas sinto que algo está terrivelmente errado.
O problema é o seguinte:

"Com o auxílio das somas de Riemann, prove a validez do seguinte limite: \(lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^{p+1}}\sum_{i=1}^n i^p = \frac{1}{p+1}\)"

Solução:

Para a função \(f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R\), \(f(x)=x^p\), sabemos que \(\int_0^n x^pdx=\left [ \frac{x^{p+1}} {p+1}\right ]_0^n=\frac{n^{p+1}}{p+1}\). Consideremos \(P_n=\left \{ 1,2,...,n \right \}\) a partição de \([0,n]\) resultante da divisão deste intervalo em \(n\) partes iguais, cada uma de comprimento unitário. Para cada subintervalo \([i-1,i]\) desta partição, tomemos o ponto \(\varepsilon_i=i\). A soma de Riemann para esta partição será então \(\sum (f;P_n^*)= \sum_{i=1}^n f(\varepsilon_i)(i-1,i)= \sum_{i=1}^n i^p\). Se pudéssemos garantir que \(lim_{|P|\rightarrow 0}\sum (f;P_n^*)=lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n i^p=\frac{n^{p+1}}{p+1}\) então estaria feito. Mas isto não acontece, porque quando \(n\rightarrow \infty\), \(|P|\) não tende a zero, da maneira como foi definida a partição. Alguém teria uma sugestão?

[editado]
A partição não tem que ser refinada. A partição referida dá origem a uma soma superior, certamente maior ou igual ao valor do integral. Do mesmo modo, pode apresentar uma soma inferior (menor ou igual que o valor do integral) tomando \(\varepsilon_i = i-1\). Considerando a partição que refere temos a garantia que \(\sum_{i=1}^n i^p \ge \frac{n^{p+1}}{p+1}\). Do mesmo modo, considerando agora a soma inferior que referi, temos que \(\sum_{i=0}^{n-1}i^p \leq \frac{n^{p+1}}{p+1}\)

Este tipo de desigualdades pode, por enquadramento, provar o que se pretende.

\(\sum_{i=1}^n i^p \ge \frac{n^{p+1}}{p+1} \Rightarrow \frac{1}{n^{p+1}}\sum_{i=1}^n i^p \ge \frac{1}{p+1}\)

por outro lado

\(\sum_{i=0}^{n-1} i^p \leq \frac{n^{p+1}}{p+1} \Rightarrow \sum_{i=1}^n i^p -n^p \leq \frac{n^{p+1}}{p+1} \Rightarrow \frac{1}{n^{p+1}}\sum_{i=1}^n i^p \leq\frac{1}{p+1}+\frac{1}{n}\)

portando temos,

\(\frac{1}{p+1} \leq \frac{1}{n^{p+1}}\sum_{i=1}^n i^p \leq\frac{1}{p+1}+\frac{1}{n}\)

o que demonstra o resultado pretendido (teorema das sucessões enquadradas).