Fórum de Matemática
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Boa tarde. Não consigo calcular este limite-
\(\lim_{x \mapsto 1 } (\frac{\sqrt{x}-1}{2-\sqrt{x+3}})\)
Dá -2.

\(\lim_{x \mapsto 1 } \;\; \frac{(\sqrt{x}-1)*(\sqrt x +1)*(2+\sqrt{x+3})}{(2-\sqrt{x+3})*(\sqrt x +1)*(2+\sqrt{x+3})}\)



\(\lim_{x \mapsto 1 } \;\; \frac{(x-1)*(2+\sqrt{x+3})}{(4-(x+3))*(\sqrt x +1)}\)



\(\lim_{x \mapsto 1 } \;\; \frac{(x-1)*(2+\sqrt{x+3})}{(1-x)*(\sqrt x +1)}\)



\(- \lim_{x \mapsto 1 } \;\; \frac{(x-1)*(2+\sqrt{x+3})}{(x-1)*(\sqrt x +1)}\)



\(- \lim_{x \mapsto 1 } \;\; \frac{2+\sqrt{x+3}}{\sqrt x +1}\)


\(\fbox{\fbox{-2}}\)

Pode usar também a Regra de L'Hôspital. Chamemos \(f(x)=\sqrt x -1\) e \(g(x)= 2-\sqrt {x+3}\). Como \(f(x)\) e \(g(x)\) são deriváveis e \(\lim f(x)=\lim g(x)=0\), temos que \(lim \frac{f(x)}{g(x)}=lim\frac{f'(x)}{g'(x)}\). Como \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}\) e \(g'(x)= - \frac{1}{2\sqrt{x+3}}\), segue que \(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}= -2\). Abraços!