Fórum de Matemática
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Como calculo:

\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2}}{x}\)

e

\(\lim_{x \rightarrow + \infty } \sqrt{7 + 9x^2} - 7x\)

\(\lim_{x \to 0} \; \frac{|x|}{x}\)

Definição de módulo :


\(|x|= \begin{cases} \; x \; , \text{se} \; x \geq 0 \\\\ -x \; , \; \text{se} \; x<0 \end{cases}\)


daí:


\(\lim_{x \to 0^{+}} \; \frac{x}{x}=1\)


\(\lim_{x \to 0^{-}} \; \frac{-x}{x}=-1\)



então o limite não existe.


\(\lim_{x \to +\infty}\; \sqrt{7+9x^2}-7x\)


\(\lim_{x \to +\infty}\; \sqrt{x^2(\frac{7}{x^2}+9)}-7x\)


\(\lim_{x \to +\infty} \; |x|\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}-7x\)



\(\lim_{x \to +\infty} \; x\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}-7x\)



\(\lim_{x \to +\infty} \; x\left(\sqrt{\frac{7}{x^2}+9}-7 \right)\)


\(+\infty*(\sqrt 9 -7)=\fbox{\fbox{-\infty}}\)

Para o primeiro limite tenho também esta resolução mas não percebi porquê que da raiz quadrada surgiu raiz quadrada de 1
Em relação a esta resolução porque que podemos considerar que o que está dentro da raiz pode ser substituído pelo módulo?

1) Eu não entendi esta resolução, que vc postou.


2) Em relação ao módulo, sempre que você tiver \(\sqrt[2n]{ x^{2n}}=|x|\) e isto é uma propriedade de módulo, se você escrevesse sem o módulo estaria incorreto.Como a função módulo é uma função definida por partes, Temos que calcular o limite da função quando x tende a valore positivos e quando e o limite da função quando tende a valores negativos.