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| Limite definição https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=5376 |
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| Autor: | Edu_sjc [ 10 mar 2014, 22:45 ] |
| Título da Pergunta: | Limite definição [resolvida] |
Como faço esse execício? "Prove que existe \(\delta >0\) tal que \(1-\delta < x < 1+\delta \Rightarrow 2-\frac{1}{3}<x^{2}+x<2+\frac{1}{3}\) |
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| Autor: | Walter R [ 11 mar 2014, 03:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite definição |
Boa noite! O problema pede para achar \(\delta\) tal que \(|x-1|<\delta\Rightarrow |x^2+x-2|< \frac{1}{3}\). Ou seja, \(|x-1|<\delta\Rightarrow |x-1||x+2|<\frac{1}{3}\). Já sabemos que \(|x-1|<\delta\). Precisamos apenas limitar o termo \(|x+2|\). Note que \(|x-1|<\delta\Rightarrow -\delta<x-1<\delta\Rightarrow 3-\delta<x+2<3+\delta\Rightarrow -3-\delta<x+2<3+\delta\Rightarrow |x+2|<3+\delta\). Então \(|x-1||x+2|<\delta(\delta+3)\). Por hipótese do problema, \(\delta(\delta+3)=\frac{1}{3}\). Resolvendo esta equação para a raiz positiva, encontramos \(\delta=\frac{\sqrt{93}-9}{18}\). Obs.: como o valor de \(\delta\) não é único, outras soluções podem ser encontradas. |
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