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Boas
Podemos fazer pela definição
Se f(x) é uma função real, então o limite de f quando x tende para infinito é L.
Denotamos desta forma:
\(\lim_{x \to \infty}f(x) = L\)
se para todo \(\varepsilon > 0\), então existe S > 0 tal que
\(|f(x) - L| < \varepsilon\) sempre que \(x > S\)
Ou, simbolicamente:
\(\forall \varepsilon >0 \; \exists S >0 \; \forall x \in I \; (x > S \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon)\)
Considerando que \(e^x\) cresce muito mais rapidamente que \(\ln x\) o limite L parece ser \(L=0\)
Então temos que provar o seguinte:
\(\forall \varepsilon >0 \; \exists S >0 \; \forall x \in \R \; (x > S \Rightarrow |\frac{\ln x}{e^x}| < \varepsilon)\)
Ora basta escolher \(S=e^{\varepsilon}\) para provar o que foi referido
Repare que quando \(x=e^{\varepsilon}\) fica-se com
\(\frac{\ln e^{\varepsilon}}{e^{e^{\varepsilon}}} < \varepsilon\)
\(\frac{\varepsilon}{e^{e^{\varepsilon}}} < \varepsilon\)
\(1 < e^{e^{\varepsilon}}\)
o que é certamente válido para \(\varepsilon>0\) ficando assim provado por definição que L=0
Não sei se haveriam outras formas, mas foi desta que me lembrei
Cumprimentos
_________________ João Pimentel Ferreira Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)
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