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| Cálculo de limites sem aplicar regra de Hopital https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=548 |
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| Autor: | emsbp [ 01 jul 2012, 22:49 ] |
| Título da Pergunta: | Cálculo de limites sem aplicar regra de Hopital |
Boa tarde. Como determinar o limite de \(\frac{lnx}{e^{x}}\), quando x tende para + infinito, sem recorrer à regra de L' Hopital? Obrigado! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 02 jul 2012, 18:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo de limites sem aplicar regra de Hopital |
Boas Podemos fazer pela definição Se f(x) é uma função real, então o limite de f quando x tende para infinito é L. Denotamos desta forma: \(\lim_{x \to \infty}f(x) = L\) se para todo \(\varepsilon > 0\), então existe S > 0 tal que \(|f(x) - L| < \varepsilon\) sempre que \(x > S\) Ou, simbolicamente: \(\forall \varepsilon >0 \; \exists S >0 \; \forall x \in I \; (x > S \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon)\) Considerando que \(e^x\) cresce muito mais rapidamente que \(\ln x\) o limite L parece ser \(L=0\) Então temos que provar o seguinte: \(\forall \varepsilon >0 \; \exists S >0 \; \forall x \in \R \; (x > S \Rightarrow |\frac{\ln x}{e^x}| < \varepsilon)\) Ora basta escolher \(S=e^{\varepsilon}\) para provar o que foi referido Repare que quando \(x=e^{\varepsilon}\) fica-se com \(\frac{\ln e^{\varepsilon}}{e^{e^{\varepsilon}}} < \varepsilon\) \(\frac{\varepsilon}{e^{e^{\varepsilon}}} < \varepsilon\) \(1 < e^{e^{\varepsilon}}\) o que é certamente válido para \(\varepsilon>0\) ficando assim provado por definição que L=0 Não sei se haveriam outras formas, mas foi desta que me lembrei Cumprimentos |
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