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| Problema com uma demonstração de limite. Função sempre positiva. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=5669 |
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| Autor: | isabeladcm [ 08 abr 2014, 14:49 ] |
| Título da Pergunta: | Problema com uma demonstração de limite. Função sempre positiva. |
Suponha que Lim f(x) =L com L>0 , prove que existe (delta)>0 tq .................... x->p ∀x ∊ Df, p-(delta)<x<p+(delta), x≠p => f(x)>0 |
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| Autor: | Walter R [ 08 abr 2014, 15:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Problema com uma demonstração de limite. Função sempre positiva. |
O fato é decorrente do seguinte teorema: "Sejam \(X\subset \mathbb{R}\), \(a\in X'\), \(f,g:X\rightarrow \mathbb{R}.\) Se \(\lim_{x\rightarrow a} g(x)=L\) e \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=M\), com \(L<M\), então existe \(\delta>0\) tal que \(x\in X, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow g(x)<f(x)\)" (posso provar, se quiseres). A sua afirmação prova-se simplesmente assumindo \(g(x)=0\), no teorema acima. |
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| Autor: | isabeladcm [ 08 abr 2014, 17:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Problema com uma demonstração de limite. Função sempre positiva. |
Entendi perfeitamente. Se tiver como provar o teorema eu agradeço. |
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| Autor: | Walter R [ 09 abr 2014, 01:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Problema com uma demonstração de limite. Função sempre positiva. |
Tome-se \(\varepsilon=\frac{M-L}{2}\). Então vale que \(L+\varepsilon=\frac{L+M}{2}=M-\varepsilon\). Por hipótese do enunciado, \(\exists \delta>0\) tal que \(x \in X, 0<|x-a|<\delta\Rightarrow g(x)\in (L-\varepsilon,L+\varepsilon)\) e \(f(x)\in(M-\varepsilon,M+\varepsilon)\). Logo, \(g(x)<\frac{L+M}{2}<f(x)\), o que prova o teorema. |
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