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| provar que f está bem definida https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=6075 |
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| Autor: | Walter R [ 19 mai 2014, 14:04 ] |
| Título da Pergunta: | provar que f está bem definida |
Considere-se o seguinte problema: " Prove que a função \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(n!)^2}\left ( \frac{x}{2} \right )^{2n}\) está bem definida para todo \(x \in \mathbb R\) e que \(f''+\frac{f'}{x}+f=0\), para todo \(x \neq 0\)". Para que a função esteja bem definida para todo \(x \in \mathbb R\), é necessário que o raio de convergência da série seja infinito. Tome-se \(y=\frac{x}{2}\). Então \(f(y)=\sum (-1)^n\frac{1}{(n!)^2}y^{2n}=\sum a_my^m\). Para \(m\) ímpar, \(a_m=0\). Para \(m\) par, \(a_m=(-1)^{\frac{m}{2}}\frac{1}{\left [ \left ( \frac{m}{2} \right )! \right ]^2}\), onde \(\lim \sqrt[m]{\left | a_m \right |}=0\). Logo, \(\lim \sup \sqrt[n]{|(-1)^n\frac{1}{(n!)^2}|}=0\) e a série converge para todo \(y \in \mathbb R\) e, consequentemente, para todo \(x \in \mathbb{R}\). Agora, tem se que \(f'(x)=\sum(-1)^n\frac{1}{(n!)^2}\frac{2n}{x}\left ( \frac{x}{2} \right )^{2n}=\frac{2n}{x}f\) e \(f''(x)=-\frac{2n}{x^2}f+\frac{4n^2}{x^2}f\), o que não cumpre \(f''+\frac{f'}{x}+f=0.\). Alguem poderia apontar onde está o erro? Grato. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 19 mai 2014, 17:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: provar que f está bem definida |
Atenção que a variável n é muda, logo pode passar para fora do somatório. Assim sendo, não é válida as identidades \(f'(x)=\frac{2n}{x}f(x)\) e \(f''(x)=-\frac{2n}{x^2}f(x)+\frac{4n^2}{x^2}f(x)\). |
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| Autor: | Sobolev [ 19 mai 2014, 17:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: provar que f está bem definida |
O Rui queria dizer (...) não pode passar para fora do somatório (...) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 19 mai 2014, 17:51 ] |
| Título da Pergunta: | Re: provar que f está bem definida |
Correto Sobolev, esqueci-me do não. Obrigado. |
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| Autor: | Sobolev [ 20 mai 2014, 10:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: provar que f está bem definida [resolvida] |
Realmente a equação é verificada: \(f(x)=\sum_{n\ge 0} \frac{(-1)^n}{(n!)^2 2^{2n}} x^{2n} = \sum_{n\ge 1} \frac{(-1)^{n-1}}{((n-1)!)^2 2^{2n-2}}\quad x^{2n-2}\) \(f'(x) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n n }{(n!)^2 2^{2n-1}} \quad x^{2n-1}\) \(f''(x) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n n (2n-1)}{(n!)^2 2^{2n-1}}\quad x^{2n-2}\) Logo, \(f'' + f'/x + f = \sum_{n\ge 1} \left[ \frac{(-1)^n}{((n-1)!)^2 2^{2n-2}}\left( \frac{n(2n-1)}{2n^2} + \frac{n}{2n^2} -1\right) x^{2n-2}\right] = 0\) |
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