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| Cálculo de Limite Função Composta https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=6310 |
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| Autor: | Gabriel Moreira [ 13 jun 2014, 00:36 ] |
| Título da Pergunta: | Cálculo de Limite Função Composta |
Seja f definido em R e seja p um número real dado. Suponha que limx->p [f(x)-f(p)]/[x-p] = L. Calcule limh->0 [f(p+h)-f(p-h)]/h. |
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| Autor: | santhiago [ 13 jun 2014, 15:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo de Limite Função Composta |
Deixe \(x = h+p\) o que implica que \(h = x-p\) . Note que , \(\frac{f(p+h) - f(p-h)}{h} = \frac{[f(p+h) - f(p)] - [f(p-h) - f(p)]}{h} = \frac{f(p+h) - f(p)}{h} - \frac{f (p-h) - f(p)}{h} = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} - \frac{f (2p -x) - f(p)}{x-p} = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} - \frac{f (2p -x) - f(p)}{(x-2p) +p } = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} + \frac{f (2p -x) - f(p)}{(2p -x) - p }\) . Quando \(h \to 0\) temos que \(x \to p\) e também \((2p -x) \to p\) ,use a hipótese para concluir . |
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| Autor: | Gabriel Moreira [ 14 jun 2014, 05:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo de Limite Função Composta |
santhiago Escreveu: Deixe \(x = h+p\) o que implica que \(h = x-p\) . Note que , \(\frac{f(p+h) - f(p-h)}{h} = \frac{[f(p+h) - f(p)] - [f(p-h) - f(p)]}{h} = \frac{f(p+h) - f(p)}{h} - \frac{f (p-h) - f(p)}{h} = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} - \frac{f (2p -x) - f(p)}{x-p} = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} - \frac{f (2p -x) - f(p)}{(x-2p) +p } = \frac{f(x) -f(p)}{x-p} + \frac{f (2p -x) - f(p)}{(2p -x) - p }\) . Quando \(h \to 0\) temos que \(x \to p\) e também \((2p -x) \to p\) ,use a hipótese para concluir . Eu só não entendi a parte em que você coloca o -f(p) e esse f(2p-x) que aparece depois, porque eles aparecem? E a resposta final é 2L. |
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| Autor: | santhiago [ 14 jun 2014, 18:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo de Limite Função Composta |
Não estou certo se compreendi sua dúvida . Observe que \(-f(p)\) em cada parcela é oriundo de soma-se \(f(p)\) e subtrair-se a mesma quantidade , isto é , adicionei \(f(p) + (-f(p)) = 0\) e na sequência utilizei associatividade e também distributividade de (-1) sobre a soma . Em relação \(2p -x\) , apenas substituir \(h\) por \(x- p\) e com isso \(f(p-h) = f(p-[x-p]) = f(2p-x)\) e também \(x- p = - (p-x) = -(2p -p -x) = -([2p -x] - p)\) . Novamente quando \(h \to 0\) , \(x \to p\) e \((2p-x) \to p\) .Como por definição \((f(z) -f(p))/(z-p) \to L\) quando \(z\to p\) . Então \((f(2x-p) -f(p))/((2x-p)- p) \to L\) e \((f(x) -f(p))/(x-p) \to L\) . Logo , o limite requerido vale \(2L\) . |
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