Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde, precisava de uma ajuda aqui:
Tendo uma função definida por ramos (penso que não seja necessário explicitar o exercício), pedem-nos para calcular as derivadas laterais da função no ponto 1, por definição (sabendo que um dos ramos está definido para ]-oo, 1[ e o outro para [1, +oo]).
Se vemos que há mais fácil utilizar a forma do "h", como diferenciamos os limites laterais? Ou seja, não faz sentido calcular para 0- e 0+, mas também não podemos calcular para 1- e 1+ porque a fórmula tem o "h" a tender para 0. Basta utilizar a mesmo fórmula para os dois ramos?
Espero ter-me feito entender...

Por que não faria sentido o "h" tender para 0+ ou 0- ? Poste sempre o exercício integralmente.

Porque não é para esse ponto que estou a calcular assíntotas! Então no primeiro ramo o 1 não faz parte do domínio, logo tenho de calcular por definição. E assim sendo, ao usar a fórmula do h não faz sentido tê-lo a tender para 0+ ou 0-. Mas também não pode tentar para 1 claro...

Olá :D


Pela definição de derivada : \(\lim_{ x \to p} \; \frac{f(x)-f(p)}{x-p}\), então temos os seguintes casos :


\(\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{f(x^{-})-f(1)}{x-1}\)


e

\(\lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{f(x^{+})-f(1)}{x-1}\)


Esses limites tem que ser iguais para existir derivada.Resolvendo o primeiro:



\(\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{3-2e^{1-x}-1}{x-1}\)



\(\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{2-2e^{1-x}}{x-1}\)



\(\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{-2(e^{1-x}-1) }{-(1-x)}\)



\(2*\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{e^{1-x}-1 }{1-x}\)



fazendo a substituição \(u=1-x\) , \(\;\;\;\; x \to 1^{-} \;\;\; , \;\;\; u \to 0^{+}\) :


\(2*\lim_{ u \to 0^{+} } \; \frac{e^{u}-1 }{u}= \fbox{\fbox{\fbox{2}}}\)



Veja que não teve nenhum problema em o limite tender a zero, já que é equivalente aquele outro limite tendendo a 1 .



Resolvendo o segundo limite:


\(\lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{x+\ln x-1}{x-1}\)


\(\lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{x-1+\ln x}{x-1}\)


\(\lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{x-1}{x-1}+ \lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{\ln x}{x-1}\)


\(1+ \lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{\ln x}{x-1}\)



faça a substituição \(v=x-1\), quando \(x \to 1^{+} \;\;\;\;\; , \;\;\;\; v \to 0^{+}\) ( veja que os limites são equivalentes, msm tendendo a zero):


\(1+ \lim_{ v \to 0^{+} } \; \frac{\ln (1+v)}{v}\)



\(1+ \lim_{ v \to 0^{+} } \; \frac{1}{v} \times \ln (1+v)\)



\(1+ \lim_{ v \to 0^{+} } \; \ln (1+v)^{\frac{1}{v}}\)


\(1+ \ln \left( \lim_{ v \to 0^{+} } \; (1+v)^{\frac{1}{v}} \right)\)


\(1+ \ln (e)= \fbox{\fbox{\fbox{2}}}\)



Como os limites são iguais existe derivada no ponto x=1, então a função também é continua em x=1 ,pois derivabilidade implica em continuidade.



PS: Quando a questão tiver texto tem que ser digitada pois os mecanismos de busca (google,ask,bing...) não reconhecem imagens, se a questão tiver imagem no enunciado aí sim pode postar.Leia sempre as Regras

Certo, peço desculpa.
Estava a utilizar a outra fórmula e isso baralhou-me, obrigada!