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Determinar derivadas laterais por definição https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=6358 |
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Autor: | AnaRitaML [ 21 jun 2014, 14:19 ] |
Título da Pergunta: | Determinar derivadas laterais por definição [resolvida] |
Boa tarde, precisava de uma ajuda aqui: Tendo uma função definida por ramos (penso que não seja necessário explicitar o exercício), pedem-nos para calcular as derivadas laterais da função no ponto 1, por definição (sabendo que um dos ramos está definido para ]-oo, 1[ e o outro para [1, +oo]). Se vemos que há mais fácil utilizar a forma do "h", como diferenciamos os limites laterais? Ou seja, não faz sentido calcular para 0- e 0+, mas também não podemos calcular para 1- e 1+ porque a fórmula tem o "h" a tender para 0. Basta utilizar a mesmo fórmula para os dois ramos? Espero ter-me feito entender... |
Autor: | Man Utd [ 21 jun 2014, 17:32 ] |
Título da Pergunta: | Re: Determinar derivadas laterais por definição |
AnaRitaML Escreveu: Boa tarde, precisava de uma ajuda aqui: Tendo uma função definida por ramos (penso que não seja necessário explicitar o exercício), pedem-nos para calcular as derivadas laterais da função no ponto 1, por definição (sabendo que um dos ramos está definido para ]-oo, 1[ e o outro para [1, +oo]). Se vemos que há mais fácil utilizar a forma do "h", como diferenciamos os limites laterais? Ou seja, não faz sentido calcular para 0- e 0+, mas também não podemos calcular para 1- e 1+ porque a fórmula tem o "h" a tender para 0. Basta utilizar a mesmo fórmula para os dois ramos? Espero ter-me feito entender... Por que não faria sentido o "h" tender para 0+ ou 0- ? Poste sempre o exercício integralmente. |
Autor: | Man Utd [ 22 jun 2014, 16:20 ] |
Título da Pergunta: | Re: Determinar derivadas laterais por definição |
Olá :D Pela definição de derivada : \(\lim_{ x \to p} \; \frac{f(x)-f(p)}{x-p}\), então temos os seguintes casos : \(\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{f(x^{-})-f(1)}{x-1}\) e \(\lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{f(x^{+})-f(1)}{x-1}\) Esses limites tem que ser iguais para existir derivada.Resolvendo o primeiro: \(\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{3-2e^{1-x}-1}{x-1}\) \(\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{2-2e^{1-x}}{x-1}\) \(\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{-2(e^{1-x}-1) }{-(1-x)}\) \(2*\lim_{ x \to 1^{-} } \; \frac{e^{1-x}-1 }{1-x}\) fazendo a substituição \(u=1-x\) , \(\;\;\;\; x \to 1^{-} \;\;\; , \;\;\; u \to 0^{+}\) : \(2*\lim_{ u \to 0^{+} } \; \frac{e^{u}-1 }{u}= \fbox{\fbox{\fbox{2}}}\) Veja que não teve nenhum problema em o limite tender a zero, já que é equivalente aquele outro limite tendendo a 1 . Resolvendo o segundo limite: \(\lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{x+\ln x-1}{x-1}\) \(\lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{x-1+\ln x}{x-1}\) \(\lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{x-1}{x-1}+ \lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{\ln x}{x-1}\) \(1+ \lim_{ x \to 1^{+} } \; \frac{\ln x}{x-1}\) faça a substituição \(v=x-1\), quando \(x \to 1^{+} \;\;\;\;\; , \;\;\;\; v \to 0^{+}\) ( veja que os limites são equivalentes, msm tendendo a zero): \(1+ \lim_{ v \to 0^{+} } \; \frac{\ln (1+v)}{v}\) \(1+ \lim_{ v \to 0^{+} } \; \frac{1}{v} \times \ln (1+v)\) \(1+ \lim_{ v \to 0^{+} } \; \ln (1+v)^{\frac{1}{v}}\) \(1+ \ln \left( \lim_{ v \to 0^{+} } \; (1+v)^{\frac{1}{v}} \right)\) \(1+ \ln (e)= \fbox{\fbox{\fbox{2}}}\) Como os limites são iguais existe derivada no ponto x=1, então a função também é continua em x=1 ,pois derivabilidade implica em continuidade. PS: Quando a questão tiver texto tem que ser digitada pois os mecanismos de busca (google,ask,bing...) não reconhecem imagens, se a questão tiver imagem no enunciado aí sim pode postar.Leia sempre as Regras |
Autor: | AnaRitaML [ 22 jun 2014, 20:26 ] |
Título da Pergunta: | Re: Determinar derivadas laterais por definição |
Certo, peço desculpa. Estava a utilizar a outra fórmula e isso baralhou-me, obrigada! |
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