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Calcular limite com duas variáveis
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Autor:  Ack [ 26 ago 2014, 03:56 ]
Título da Pergunta:  Calcular limite com duas variáveis
Como calcular o limite de:

\(lim_{ (x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{\frac{3}{2}}}\)
Autor:  josesousa [ 26 ago 2014, 10:53 ]
Título da Pergunta:  Re: Calcular limite com duas variáveis
Normalmente estudam-se os limites direcionais para ver se não tem limite. Neste caso, vão todos dar um valor: 0.
Por exemplo, na direção (1,0),

\(\lim_{x\to 0, y=0}\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2.0}{(x^2)^{\frac{3}{2}}}=0\)

Uma vez tendo um candidato a limite, que pode ser confirmado noutras direções, provamos que 0 é mesmo o limite. Assim, vemos o limite "de quando a norma do vetor (x,y) tende para 0" (isto é, quando me aproximo do ponto (0,0), seja em que trajetória for) do módulo da função menos 0 (repara que se tendemos para zero, esse módulo tenderá para zero por valores positivos ou zero).

\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \left| \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}-0 \right|\)

Se eu conseguir majorar a expressão do módulo por funções mais simples, tal que no fim consigo calcular o limite e é zero, então a expressão inicial tenderá para 0 também.

Isto é, se \(\lim_{||(x,y)|| \to 0} 0 \le \lim_{||(x,y)|| \to 0} \left| \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}-0 \right| \le ... \le \lim_{||(x,y)|| \to 0} A(x,y)\)

e \(\lim_{||(x,y)|| \to 0} A(x,y)=0\), então posso concluir que o meu limite inicial tende também para 0.

Neste caso, temos

\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \left| \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}-0 \right| =\)
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \frac{|x|^2|y|^2}{(x^2+y^2)^{3}} \le\)
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \frac{||(x,y)||^2||(x,y)||^2}{||(x,y)||^{3}}\)

já que \(|x| \le ||(x,y)||\) e o mesmo para \(|y|\)

Assim,

\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \frac{||(x,y)||^2||(x,y)||^2}{||(x,y)||^{3}} =\)
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} \frac{||(x,y)||^4}{||(x,y)||^{3}} =\)
\(\lim_{||(x,y)|| \to 0} ||(x,y)|| = 0\)

Assim, provamos que o limite é 0.
Autor:  Man Utd [ 26 ago 2014, 13:40 ]
Título da Pergunta:  Re: Calcular limite com duas variáveis  [resolvida]
Pode usar Coordenadas Polares :

\(x=rcos\theta \;\;\;\;\;\; y=rsen\theta \;\;\;\; (x,y) \to 0 \;\;\;\; , \;\;\;\; r \to 0\)



\(\lim_{r \to 0} \; \frac{r^4cos^{2} \theta sen^{2}\theta}{(r^2)^{\frac{3}{2}}}\)


\(\lim_{r \to 0} \; \frac{r^4cos^{2} \theta sen^{2}\theta}{r^{3}}\)


\(\lim_{r \to 0} \; r cos^{2} \theta sen^{2}\theta=0\)
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