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MensagemEnviado: 27 nov 2011, 02:36 
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Boa noite,

Ando um bocado aqui ás voltas com esta questão.
Se alguém me puder ajudar, agradeço desde já.


Abraço


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 Título da Pergunta: Re: Limite e Sucessão
MensagemEnviado: 28 nov 2011, 01:09 
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Vc faz-me pensar :)

Vamos então resolver a sucessão definida por recursividade

\(x_{n+1}=\sqrt[4]{2+(x_n)^2}\)

Ora então vejamos

\(x_1=2 \ \ \ x_2=\sqrt[4]{2+(2)^2} \approx 1,56 \ \ \ x_3=\sqrt[4]{2+(\sqrt[4]{6})^2} \approx 1,45\)

Parece então que a sucessão é monótona decrescente

Vamos provar ainda por indução matemática que a sucessão é maior que zero ou seja \(x_n>0\)

A Base é \(x_1=2>0\)

O passo é provar agora que se é válido para \(x_n\) também é válido para \(x_{n+1}\)

Como \(x_{n+1}=\sqrt[4]{2+(x_n)^2}\) e como se considera que \(x_n>0\) prova-se facilmente que \(x_{n+1}>0\), logo prova-se assim por indução que \(x_n>0\) para todo o n.


Vamos provar agora que a sucessão é decrescente

\(x_{n+1}-x_n<0\)

\(\sqrt[4]{2+(x_n)^2}-x_n<0\)

\(\sqrt[4]{2+(x_n)^2}<x_n\)

Como \(x_n>0\) elevamos à quarta dos dois lados e o sinal da inequação não troca

\(2+(x_n)^2<(x_n)^4\)

\((x_n)^4-(x_n)^2-2>0\)

Façamos uma substituição

\((x_n)^2=y_n\)

\((y_n)^2-y_n-2>0\)

Achamos os zeros pela fórmula resolvente

\((y_n-2)(y_n+1)>0\)

substituindo novamente

\(((x_n)^2-2)((x_n)^2+1)>0\)

Temos um produto de duas sucessões sendo que é fácil ver que \(((x_n)^2+1)>0\)

Temos de provar agora que \(((x_n)^2-2)>0\)

Vamos provar então por indução matemática que \((x_n)^2>2\)

A base é \((x_1)^2=4>2\)

O passo é se \((x_n)^2>2\) então \((x_{n+1})^2>2\)

Como \(x_{n+1}=\sqrt[4]{2+(x_n)^2}\) e considerando que \((x_n)^2>2\) é fácil ver que \((x_{n+1})^2=\sqrt{2+(x_n)^2}=\sqrt{a}\) em que \(a>4\). Logo verificamos fácilmente que \((x_{n+1})^2=\sqrt{a}>2\)

Logo provamos finalmente que \(((x_n)^2-2)((x_n)^2+1)>0\) pois é o produto de duas sucessões maiores que zero, e consequentemente provamos que a sucessão é decrescente.

Se a sucessão é monótona (decrescente) e limitada (entre 0 e 2), é convergete

Volte sempre :)

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João Pimentel Ferreira
 
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 Título da Pergunta: Re: Limite e Sucessão
MensagemEnviado: 28 nov 2011, 01:13 
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Para resolver o limite basta considerar que \(\lim{x_n}=\lim{x_{n+1}}=a\)

Basta então resolver esta equação

\(a=\sqrt[4]{2+a^2}\)

e calcular \(a\) lembrando-se que \(0<a<2\)

Cumprimentos

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