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| Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=7099 |
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| Autor: | Yuri94 [ 14 Oct 2014, 20:32 ] | ||
| Título da Pergunta: | Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele | ||
Olá, pessoal, mais uma vez aqui. Vi uma demonstração do que comentei no título, mas, bem, não entendi direito. Sei que, para haver continuidade, f(x) precisa estar definida num ponto, o limite neste existir e Lim x->x1 f(x)= f(x1). Na prática parece mais complicado conforme a imagem. Por que a soma de f(x)+f(xo)-f(xo)? E (x-xo)f(x)-f(xo)/x-xo é simplesmente f(x)-f(xo) aplicada no ponto? Valeu!
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| Autor: | Sobolev [ 14 Oct 2014, 20:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele [resolvida] |
Realmente a demonstração que transcreve dá umas voltas um pouco desnecessárias. De facto, apenas é preciso notar que (e isso consta da demonstração) que: \(\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)) = \lim_{x \to x_0} (x-x_0) \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \left(\lim_{x \to x_0} (x-x_0 )\right) \cdot \left(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right) = 0 \cdot f'(x_0) = 0\) o que significa que \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\). |
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| Autor: | Yuri94 [ 14 Oct 2014, 20:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele |
Por que a diferença entre eles e por que o produto igual 0 significa que é continua no ponto? Valeu! |
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| Autor: | Sobolev [ 14 Oct 2014, 21:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele |
Repare que pegando o primeiro e último termo na primeira fórmula que escrevi temos \(\lim_{x \to x_0} (f(x)-f(x_0)) = 0\) o que é equivalente sucessivamente a \(\lim_{x \to x_0} f(x) - \lim_{x\to x_0} f(x_0) = 0 \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0} f(x) - f(x_0) = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\) e esta última igualdade é justamente a definição de continuidade no ponto \(x_0\). |
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| Autor: | Yuri94 [ 14 Oct 2014, 21:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele |
Sobolev Escreveu: Realmente a demonstração que transcreve dá umas voltas um pouco desnecessárias. De facto, apenas é preciso notar que (e isso consta da demonstração) que: \(\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)) = \lim_{x \to x_0} (x-x_0) \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \left(\lim_{x \to x_0} (x-x_0 )\right) \cdot \left(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right) = 0 \cdot f'(x_0) = 0\) o que significa que \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\). Agora entendi, Subolov, valeu! Só veio uma dúvida agora, neste caso matemática. Não entendi por que o limite da diferença entre f(x)-f(xo) acabou virando o produto do limite entre (x-xo)(f(x)-f(xo)/x-xo). Obrigado! |
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| Autor: | Sobolev [ 14 Oct 2014, 21:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele |
Foi só um artificio para aparecer a expressão da derivada... Na verdade trata-se simplesmente de multiplicar e dividir pela mesma expressão (x-x_0), o que naturalmente não muda em nada o valor da expressão inicial. |
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| Autor: | Yuri94 [ 14 Oct 2014, 21:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele |
Valeu! |
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| Autor: | Walter R [ 14 Oct 2014, 22:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele |
Desculpem a intromissão, mas acho que a proposição da pergunta está equivocada, pois não é verdade que "toda derivada num ponto é contínua neste ponto". O que ficou demonstrado é que "se existe a derivada num ponto, a função é contínua neste ponto", ou equivalentemente, "toda função derivável é contínua". |
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| Autor: | Sobolev [ 15 Oct 2014, 00:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele |
sim Walter, acho que foi apenas um problema de comunicação no assunto da primeira mensagem. |
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