Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, pessoal, mais uma vez aqui.

Vi uma demonstração do que comentei no título, mas, bem, não entendi direito.

Sei que, para haver continuidade, f(x) precisa estar definida num ponto, o limite neste existir e Lim x->x1 f(x)= f(x1).

Na prática parece mais complicado conforme a imagem. Por que a soma de f(x)+f(xo)-f(xo)? E (x-xo)f(x)-f(xo)/x-xo é simplesmente f(x)-f(xo) aplicada no ponto?

Valeu!

Realmente a demonstração que transcreve dá umas voltas um pouco desnecessárias. De facto, apenas é preciso notar que (e isso consta da demonstração) que:

\(\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)) = \lim_{x \to x_0} (x-x_0) \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \left(\lim_{x \to x_0} (x-x_0 )\right) \cdot \left(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right) = 0 \cdot f'(x_0) = 0\)

o que significa que

\(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).

Por que a diferença entre eles e por que o produto igual 0 significa que é continua no ponto?

Valeu!

Repare que pegando o primeiro e último termo na primeira fórmula que escrevi temos

\(\lim_{x \to x_0} (f(x)-f(x_0)) = 0\)

o que é equivalente sucessivamente a
\(\lim_{x \to x_0} f(x) - \lim_{x\to x_0} f(x_0) = 0 \Leftrightarrow
\lim_{x\to x_0} f(x) - f(x_0) = 0 \Leftrightarrow
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)

e esta última igualdade é justamente a definição de continuidade no ponto \(x_0\).

Agora entendi, Subolov, valeu! Só veio uma dúvida agora, neste caso matemática. Não entendi por que o limite da diferença entre f(x)-f(xo) acabou virando o produto do limite entre (x-xo)(f(x)-f(xo)/x-xo).

Obrigado!

Foi só um artificio para aparecer a expressão da derivada... Na verdade trata-se simplesmente de multiplicar e dividir pela mesma expressão (x-x_0), o que naturalmente não muda em nada o valor da expressão inicial.

Valeu!

Desculpem a intromissão, mas acho que a proposição da pergunta está equivocada, pois não é verdade que "toda derivada num ponto é contínua neste ponto". O que ficou demonstrado é que "se existe a derivada num ponto, a função é contínua neste ponto", ou equivalentemente, "toda função derivável é contínua".

sim Walter, acho que foi apenas um problema de comunicação no assunto da primeira mensagem.