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MensagemEnviado: 11 jan 2015, 18:51 
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Olá,

estou tentando resolver este exercício, mas não estou a conseguir. Alguma dica para resolução?

Obrigado


Anexos:
Qual o triangulo maximo.PNG
Qual o triangulo maximo.PNG [ 6.36 KiB | Visualizado 2246 vezes ]
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MensagemEnviado: 11 jan 2015, 19:21 
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Seja \(x\) e \(y\) os dois catetos do triângulo.
Pelo que \(x>0\, \wedge \, y>0\)

Pelo Teorema de Pitágoras:
\(x^{2}+y^{2}=16\)

E a área é nos dada por:
\(A=\frac{x\times y}{2}\)

Então se, no teorema de Pitágoras resolver-mos em evidência a y:
\(y=\pm \sqrt{16-x^{2}}\)

Como \(y>0\)
\(y= \sqrt{16-x^{2}}\)

Então a Área ficará reduzida a uma incógnita:
\(A=\frac{x\times \sqrt{16-x^{2}}}{2}\)

Se colocares esta equação no gráfico da calculadora e calculares o máximo irás reparar que a Área máxima é \(4\) para quando \(x=2.828\)


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MensagemEnviado: 12 jan 2015, 12:47 
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Obrigado pela resposta.

No entanto, tenho algumas questões:

1 - Estamos a assumir que o triangulo é retangulo, atendendo à utilização de Teorema de Pitagoras. Podemos assumir tal situação?
2 - Na resolução final, e dado que tenho de apresentar os cálculos até ao fim, temos 2 incógnitas, como será possível a resolução? Será que temos de isolar primeiro o "A" (que já a temos isolada) e noutra equação isolamos o "x" e depois fazemos a substituição? Mas creio que por este metodo, não conseguimo perceber o "máximo", certo?

Agradeço ajuda.


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MensagemEnviado: 12 jan 2015, 20:31 
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1 - O enunciado fala"De todos os triângulos rectângulos de hipotenusa igual a 4". Por isso é completamente correto a utilização do teorema de pitágoras.

2- O que pretendi para resolver o exercício foi criar uma função que relaciona a área com um dos lados do triângulo, colocar de seguida na calculadora e calcular o máximo a partir do gráfico da calculadora.

\(f(x)=\frac{x\times \sqrt{16-x^{2}}}{2}\)
onde \(f(x)\) é a área em relação ao lado \(x\)

Se não podes usar a calculadora, a forma de calcular à mão é usar a derivada da função. E calcular para quando \(f'(x)=0\)

\(f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\frac{x\times \sqrt{16-x^{2}}}{2})=\frac{8-x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\)

\(f'(x)=0\, \Leftrightarrow \frac{8-x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}=0\)


\({8}-x^{2}=0\; \wedge \; \sqrt{16-x^{2}}\neq {0}\)

\(x=\pm \sqrt{8}\; \wedge \; x\neq 4\)

Como\(x>0\) a área é máxima para \(x=\sqrt{8}\)


\(A=\frac{\sqrt{8}\times \sqrt{16-(\sqrt8)^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{8}\times\sqrt{8}}{2}=\frac{8}{2}=4\)


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