Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite,

Será que alguém me podia dizer se no seguinte limite está presente uma indeterminação?

\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{2x}{x-1}+\frac{x^{2}}{1-x^{2}} \right )\)

Obrigada pela atenção

Bom dia,

A resposta curta é: não há indeterminação.

Veja que podemos fazer o seguinte algebrismo com a sua expressão de limite:
\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{2x}{x-1} \cdot \left( \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\right )+\frac{x^{2}}{1-x^{2}} \cdot \left( \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}\right )\right )\)

Daí em diante basta fazer as simplificações para encontrar o limite.

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Fraol
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A resposta mais longa é: Existe indeterminação, mas por pouco tempo!

Considerando um exemplo simples \(\lim _{x\rightarrow +\infty }(x^{3}+3x^{2}+2)=+\infty +\infty +2=+\infty\)
Neste caso não existe indeterminação porque se pode calcular diretamente o limite substituindo o x na expressão \(x^{3}+3x^{2}+2\) por \(+\infty\).

No limite \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{2x}{x-1}+\frac{x^{2}}{1-x^{2}} \right )\) se substituir diretamente x por +∞ chega-se a \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{2x}{x-1} \right )+\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}}{1-x^{2}} \right )=\frac{+\infty }{+\infty }+\frac{+\infty }{-\infty }=\frac{\infty }{\infty }+\frac{\infty }{\infty }\).

Isto não é uma indeterminação ou é?

É uma indeterminação sim.

Oi,

Sim. É uma indeterminação à primeira vista, mas uma simples manipulação como proposta acima nos leva rapidamente a outra expressão equivalente e evitamos a indeterminação. Temos uma discussão: a indeterminação, no limite, ocorre em uma expressão e não ocorre na sua equivalente. E agora? Particularmente, gostei da resposta longa do Sobolev.

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Fraol
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A questão é que a indeterminação não é uma propriedade do limite, mas sim uma propriedade de quem calcula o limite. O limite propriamente dito ou existe ou não existe... a indeterminação diz apenas respeito a não conseguirmos imediatamente decidir sobre a existência ou não existência do limite. Por exemplo, quando somamos dois infinitamente grandes positivos, a sua soma será fatalmente um infinitamente grande positivo, isto é, se
\(\lim_{x \to a}f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to a}g(x) = +\infty\), fatalmente teremos \(\lim_{x \to a}(f(x)+g(x)) = +\infty\). Então quando obtemos \(+\infty+\infty\) não temos nenhuma dúvida sobre o resultado, pelo que dizemos que não existe indeterminação. Se tivermos \(\infty-\infty\) já não é assim, contrariamente ao caso anterior, a resposta já depende das funções f e g que forem concretamente escolhidas. Os exemplos seguintes são todos \(\infty - \infty\), e todos dão resultados diferentes.

\(\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^2}) - \frac{1}{x^2} = 0, \qquad \lim_{x\to 0}(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^4})= -\infty, \qquad \lim_{x\to 0}(\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^2})=+ \infty\)

Eu particularmente concordo com o que Fraol disse acerca disto. Esta parte da matemática é o que mais me cativa pelo o "malabarismo", passo a expressão, necessário para chegar à resposta. As indeterminações aparecem porque o método convencional não nos permite facilmente chegar à resposta e por isso criamos novos métodos a partir disso. O método convencional funciona e é mais fácil para a maior parte mas não para tudo.

Bom dia a todos, muito obrigado por serem incansáveis e, acima de tudo, fazerem os possíveis e impossíveis por me darem uma resposta completa e detalhada